Ответы
Ответ: Почнемо зі спрощення логарифмічних виразів:
log_(1/4)^2 х + log_(1/4) (х - 2) = 0
Враховуючи властивості логарифмів, ми можемо записати:
2log_(1/4) х + log_(1/4) (х - 2) = 0
Застосуємо заміну: позначимо t = log_(1/4) х. Тоді наше рівняння можна переписати у вигляді:
2т + log_(1/4) (х - 2) = 0
Тепер врахуємо властивість логарифмів, що дозволяє переписати log_(1/4) (х - 2) у вигляді (-1) * log_(1/4) (х - 2)^(-1):
2т - log_(1/4) (х - 2)^(-1) = 0
Домножимо обидві частини на (-1):
-2т + log_(1/4) (х - 2)^(-1) = 0
Тепер використаємо властивість логарифмів, що дозволяє переписати log_(a) b^(-1) у вигляді -log_(a) b:
-2т - log_(1/4) (1 / (х - 2)) = 0
-2т + log_(1/4) (х - 2) = 0
Тепер ми отримали рівняння без логарифмів, яке можна розв'язати за допомогою алгебраїчних методів. Продовжуємо розв'язувати:
2т = log_(1/4) (х - 2)
t = (1/2) * log_(1/4) (х - 2)
t = log_(1/4) (х - 2)^(1/2)
Повернемося до нашої заміни і підставимо t:
log_(1/4) х = log_(1/4) (х - 2)^(1/2)
х = (х - 2)^(1/2)
х^2 = х - 2
х^2 - х + 2 = 0
Застосовуємо формулу дискримінанта і отримуємо, що дискримінант менше нуля, тому рівняння не має дійсних коренів. Значить, дане логарифмічне рівняння не має розв'язків.