Question

М10. Пусть А = 1! + 2! + 3! + ... + 2023!. Вычислите остаток от деления А на 100. Как обычно, через п! обозначется произведение всех натуральных чисел от 1 до п. ​

Answer 1

Ответ:

Остаток от деления на 100 числа А = 1! + 2! + 3! + ... + 2023! равен 13

Пошаговое объяснение:

Нужно знать:

1) Сумма любых двух натуральных чисел и сумма их остатков имеют одинаковые остатки при делении на натуральное n.

2) Произведение любых двух натуральных чисел и произведение их остатков имеют одинаковые остатки при делении на натуральное n.

Решение. По определению через n! обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1·2·3·...·n. Значит:

10! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 5²·4·2·3·6·7·8·9·2.

И поэтому, так как 100 = 4·25 = 4·5², то остаток от деления k! на 100, k≥10, равен 0.

Остаётся найти остаток от деления на 100 сумму 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9!:

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9! =

= 1+2+6+24+120+720+5040+40320+362880 = 409113.

Остаток от деления на 100 числа 409113 равен 13.

Наконец, остаток от деления на 100 числа А = 1! + 2! + 3! + ... + 2023! равен 13.

#SPJ1