Question

N 18. Даны числа 1, 2, 3, ..., 2023. Сколько из этих чисел имеют не менее трех одинаковых цифр?​

Answer 1

Відповідь:

Рассмотрим число $n$ от 1 до 2023. Заметим, что для любого $n$, кроме чисел от 1 до 9, его цифры будут из множества ${0, 1, 2, \dots, 9}$. Таким образом, у нас есть 10 возможных цифр для каждой позиции в числе.

Рассмотрим три случая:

1. $n$ состоит из трех одинаковых цифр.
2. $n$ состоит из двух одинаковых цифр и еще одной цифры.
3. $n$ состоит из трех разных цифр.

Для первого случая число $n$ будет иметь вид $aaa$, где $a$ - одна из цифр ${0, 1, 2, \dots, 9}$. Количество возможных таких чисел равно 10.

Для второго случая число $n$ будет иметь вид $aab$ или $aba$, где $a$ и $b$ - две из цифр ${0, 1, 2, \dots, 9}$. Для каждой пары цифр $a$ и $b$ мы можем выбрать одну из двух позиций, на которую будет ставиться цифра $b$. Количество возможных пар цифр равно ${10 \choose 2} = 45$. Таким образом, для каждой пары цифр $a$ и $b$ существует $2 \cdot 9 = 18$ чисел второго типа.

Для третьего случая мы можем выбрать 3 различные цифры из множества ${0, 1, 2, \dots, 9}$, что можно сделать ${10 \choose 3} = 120$ способами.

Таким образом, общее количество чисел, имеющих не менее трех одинаковых цифр, равно $10 + 18 \cdot 45 + 120 = 1030$.