8.5. Трикутник ABC рiвнобедрений, AB=BC. Через середину сторони AB проведено пряму, перпендикулярно прямій ВС, яка перетинає відрізок ВС в точці D, а продовження прямої АС в точці К, так що АК=0,5-АВ і BD=2. Знайти периметр трикутника АВС.
Ответы
Ответ:
Спочатку знайдемо величину сторінки рівнобедреного трикутника. Оскільки AB = BC, то кут АBC = 180°/2 = 90°. Позначимо AB = BC = a. Тоді за теоремою Піфагора маємо:
AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2
AC = a√2
Оскільки К – середина сторони AC, то AK = 0,5 * AC = 0,5 * a√2 = (a/√2) (минула дуже важлива помилка в попередньому варіанті відповіді).
За теоремою Піфагора для трикутника BCD маємо:
BD^2 + CD^2 = BC^2
Підставляємо відомі значення і отримуємо:
4 + CD^2 = a^2
CD^2 = a^2 - 4
CD = √(a^2 - 4)
Оскільки BD = 2, то AD = AB - BD = a - 2.
За теоремою Піфагора для трикутника ABD маємо:
AD^2 + BD^2 = AB^2
Підставляємо відомі значення і отримуємо:
(a - 2)^2 + 4 = a^2
a^2 - 4a + 4 + 4 = a^2
4a = 8
a = 2
Таким чином, ми знайшли сторону рівнобедреного трикутника АВС: a = 2.
За формулою з трикутника BCD знаходимо CD:
CD = √(a^2 - 4) = √(2^2 - 4) = √0 = 0
Отже, точка D збігається з точкою С.
Крім того, за умовою задачі, AK = a/(√2) = 2/(√2) = √2. Тоді КС = AC - AK = a√2 - √2 = √2(a - 1) = 2√2 - √2 = √2.
Таким чином, периметр трикутника АВС дорівнює:
AB + BC + AC = 2a + a√2 = 4 + 2√2.
Відповідь: периметр трикутника АВС дорівнює 4 + 2√2 одиниць довжини.
Пошаговое объяснение: