Question

помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

$x\in (-\infty; -6]\cup[4;+\infty).$

Объяснение:

Решить неравенство

                             $\dfrac{4^{-|x-2|}}{\sqrt{x^2-x-2}+2}\le \dfrac{2^{1-|x|}}{\sqrt{x^2+6x}+4}.$

Преобразуем: в левой части неравенства сделаем замену x-2=p, в правой части поделим числитель и знаменатель на 2, после чего сделаем замену  $\dfrac{x}{2}=q:$

        $\dfrac{4^{-|p|}}{\sqrt{p^2+3p}+2}\le\dfrac{2^{-|x|}}{\sqrt{\frac{x^2}{4}+3\cdot\frac{x}{2}}+2};\ \ \dfrac{4^{-|p|}}{\sqrt{p^2+3p}+2}\le\dfrac{2^{-2|q|}}{\sqrt{q^2+3q}+2};$

                       $4^{|q|}\cdot\left(\sqrt{q^2+3q}+2\right)\le 4^{|p|}\cdot\left(\sqrt{p^2+3p}+2\right).$

Рассмотрим функцию             $F(t)=4^{|t|}\cdot\left(\sqrt{t^2+3t}+2\right).$

Наше неравенство записывается в виде

                                          $F(q)\le F(p).$

Исследуем эту функцию.  $D(F)=(-\infty;-3]\cup [0;+\infty);$ справа от нуля она возрастает как произведение возрастающих положительных функций, слева от минус трех она убывает как произведение убывающих положительных функций. Поэтому если q  и p больше или равны 0,      

                                      $F(q)\le F(p)\Leftrightarrow q\le p;$

если q и p меньше или равны минус 3,    

                                     $F(q)\le F(p)\Leftrightarrow q\ge p;$

если они по разные стороны от 0 и минус 3, как решать неравенство - абсолютно неясно. Будем надеяться, что этот случай не реализуется.

1-й случай. $\left \{ {{x-2\ge 0} \atop {\frac{x}{2}}\ge 0} \right.\Leftrightarrow x\ge 2.$ Тогда неравенство $F(\frac{x}{2})\le F(x-2)$ равносильно неравенству     $\dfrac{x}{2}\le x-2;\ x\le 2x-4;\ x\ge 4;$

$\left \{ {{x\ge2} \atop {x\ge 4}} \right.\Leftrightarrow x\ge 4.$

2-й случай. $\left \{ {{x-2\le -3} \atop {\frac{x}{2}\le -3}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{x\le -1} \atop {x\le -6}} \right.\Leftrightarrow x\le -6.$ Тогда неравество                           $F(\frac{x}{2})\le F(x-2)$  равносильно неравенству $\dfrac{x}{2}\ge x-2;\ x\le 4;$

$\left \{ {{x\le -6} \atop {x\le 4}} \right. \Leftrightarrow x\le -6.$

3-й случай. $\left \{ {{x-2\ge 0} \atop {\frac{x}{2}}\le -3} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x\ge2} \atop {x\le -6}} \right.\Leftrightarrow x\in \emptyset.$

4-й случай. $\left \{ {{x-2\le -3} \atop {\frac{x}{2}}\ge 0} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{x\le-1} \atop {x\ge 0}} \right.\Leftrightarrow x\in \emptyset.$

Окончательный ответ: $x\in (-\infty; -6]\cup[4;+\infty).$