3. Дано рівнобедрені трикутники АВС та МРО з основами АС та МО, в яких відповідно проведено висоти ВН=4 см та РК=8 см. Доведіть, що трикутники ABC та MPO подібні, якщо АС= 6 см, MQ-12 см.
Даю 20 баллов
Ответы
Щоб довести, що трикутники ABC і MPO подібні, потрібно показати, що їх відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.
По-перше, ми можемо знайти довжину основи BC трикутника ABC, використовуючи той факт, що він рівнобедрений з основою AC. Оскільки AC = 6 см, то і BC = 6 см.
Тепер подивимось на висоту трикутника MPO. Оскільки висоти трикутника ABC і MPO паралельні, ми бачимо, що висота MPO дорівнює половині висоти ABC. Отже, висота MPO дорівнює HC/2 = 2 см.
Нам відомо, що MQ = 12 см. Ми можемо використати цю інформацію, щоб знайти довжину MP. Проведемо перпендикуляр з точки P до основи MO, і назвемо точку перетину N. Тоді, маємо:
Оскільки трикутник MPO рівнобедрений, ми знаємо, що MP = OP.
Ми також знаємо, що PN = 8 см, оскільки це висота трикутника MPO.
Нарешті, маємо MQ = 12 см, що є різницею між MO і OP.
Використовуючи ці три довжини, ми можемо скласти рівняння:
MP + PN = MO
MP + 8 = MQ + MP
2MP = MQ + 8
MP = (MQ + 8)/2
Підставивши MQ = 12, отримаємо:
MP = (12 + 8)/2 = 10 см
Тепер ми маємо довжини двох відповідних сторін трикутників. Ми можемо перевірити, чи рівні відповідні кути.
Кут A - це кут між AC і BC в трикутнику ABC. Кут M - це кут між MO і MP у трикутнику MPO. Ми бачимо, що ці кути рівні, оскільки вони лежать навпроти рівних сторін AC і MO відповідно.
Щоб знайти кут A, скористаємося тим, що трикутник ABC рівнобедрений:
Кут A = кут B
Ми також знаємо, що кут A + кут B + кут C = 180 градусів (сума кутів у трикутнику)
Оскільки трикутник ABC рівнобедрений, то маємо кут C = кут A
Отже, 2 кут A + кут B = 180 градусів
Оскільки кут A = кут B, маємо 3 кут A = 180 градусів
Отже, кут A = кут B = 60 градусів
Щоб знайти кут M, скористаємося тим, що трикутник MPO рівнобедрений:
Кут M = кут OMP
Також відомо, що кут M + кут OMP + кут OPM = 180 градусів (сума кутів у трикутнику)
Оскільки трикутник MPO рівнобедрений, маємо кут OPM = кут OMP
Отже, 2 кут M + кут OPM = 180 градусів
Оскільки кут OPM = кут M, маємо 3 кут M = 180 градусів
Отже, кут M = 60 градусів
Оскільки відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні (AC/MP = 6/10), можна зробити висновок, що трикутники ABC і MPO подібні за критерієм подібності кутів.