ДАЮ 100 БАЛОВ!!!!!СРОЧНО!!!!
Припустимо, що уподобання даного споживача описуються функцією корисності:
U=\sqrt{x^2+y^2}
де х – кількість першого блага у споживчій корзині, y – кількість другого блага, х, y ≥ 0. Нехай ціна першого блага 3 грн., ціна другого ‒ 4 грн., а доход споживача 150 грн. на тиждень. У якому варіанті споживання досягається максимум корисності?
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Ми шукаємо такі значення x та y, щоб максимізувати функцію корисності U = √(x^2 + y^2) при обмеженнях: 3x + 4y ≤ 150 та x, y ≥ 0.
Для початку складемо функцію бюджетного обмеження (функцію витрат):
L(x,y) = 3x + 4y
Потім використовуємо обмеження, щоб виразити одну зі змінних через іншу:
3x + 4y ≤ 150
y ≤ (150 - 3x) / 4
Підставляємо це у вираз для функції корисності:
U(x) = √(x^2 + ((150 - 3x) / 4)^2)
Тепер ми можемо знайти максимум цієї функції за допомогою похідної:
dU/dx = (x / √(x^2 + ((150 - 3x) / 4)^2)) - (3/8) * ((150 - 3x) / √(x^2 + ((150 - 3x) / 4)^2))
Потрібно знайти таке значення x, для якого dU/dx = 0. Ми можемо розв'язати це рівняння чисельно за допомогою методу Ньютона або інших методів, але в цьому конкретному випадку знайти розв'язок можна і аналітично.
Зробимо заміну:
t = x / (150 - 3x)
Тоді:
dU/dx = 0 означає:
t / √(1 + 16t^2) = 3/8
Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для t:
t = 3/16 * √(17)
Тоді, підставивши t у вираз для x, отримуємо:
x = (3/16) * (150 / √(17 + 1))
x ≈ 28.6
Підставляємо це значення x у вираз для y (який ми отримали раніше):
y = (150 - 3x) / 4 ≈ 30.7
Отже, споживач досягне максимуму корисності, якщо він купить 28 одиниць першого блага та 31 одиницю другого блага, при цьому отримавши максимальну корисність U ≈ 50.04.