Question

Дано вершини трикутника
A(1,-3),B(5,-1),C(-3,5)

Скласти рівняння:

а) сторін АВ і ВС;
б) висоти, проведеної з вершини С на сторону АВ;
в) рівняння прямої
CN || AB
г) кут В.

Answer 1

Ответ:

   $\bf A(1;-3)\ ,\ B(5;-1)\ ,\ C(-3;5)$  

a) Уравнение сторон запишем , применяя формулу для уравнения прямой , проходящей через 2 точки .

$\bf AB:\ \ \dfrac{x-1}{5-1}=\dfrac{y+3}{-1+3}\ \ ,\ \ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+3}{2}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{1}\\\\\\BC:\ \ \dfrac{x-5}{-3-5}=\dfrac{y+1}{5+1}\ \ ,\ \ \dfrac{x-5}{-8}=\dfrac{y+1}{6}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x-5}{-4}=\dfrac{y+1}{3}$  

б)  Высота СН имеет нормальный вектор, коллинеарный вектору АВ . Запишем уравнение СН через нормальный вектор .

$\bf \overline{n}=\overline{AB}=(\ 4\ ;\ 2\ )\\\\CH:\ 4(x+3)+2(y-5)=0\ \ \to \ \ \ 2(x+3)+y-5=0\ \ ,\\\\\underline{2x+y+1=0}$  

в)  Прямая CN || AB , поэтому за направляющий вектор прямой СN можно взять вектор АВ .

$\bf \overline{s}=\overline{AB}=(\ 4\ ;\ 2\ )$  

Каноническое уравнение СN имеет вид :  

$\bf CN:\ \ \dfrac{x+3}{4}=\dfrac{y-5}{2}\ \ \to \ \ \ \dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-5}{1}$  

г)  Найдём cos∠B .

$\bf \overline{BA}=(-4\ ;\ -2)\ \ ,\ \ \overline{BC}=(-8\, ;\, 6\, )\\\\|\overline{BA}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\\\\|\overline{BC}|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\\\\\overline{BA}\cdot \overline{BC}=-4\cdot (-8)-2\cdot 6=32-12=20\\\\cos\angle{B}=\dfrac{20}{2\sqrt5\cdot 10}=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}\\\\\\\angle{B}=arccos\dfrac{\sqrt5}{5}$