Укажи наименьшее количество nn первых членов арифметической прогрессии, сумма которых будет отрицательной, если a1=429, d=−33.
Ответы
Відповідь:
Таким образом, наименьшее количество первых членов арифметической прогрессии, сумма которых будет отрицательной, равно 25.
Пояснення:
Для решения задачи воспользуемся формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Sn = n/2 * (a1 + an),
где Sn - сумма первых n членов, a1 - первый член прогрессии, an - n-й член прогрессии.
Для того, чтобы сумма первых n членов была отрицательной, необходимо, чтобы абсолютное значение суммы первых n-1 членов было больше, чем абсолютное значение n-го члена.
То есть, для того, чтобы найти наименьшее количество nn первых членов, сумма которых будет отрицательной, необходимо найти наименьшее nn, при котором выполняется неравенство:
|a1 + a2 + ... + an-1| > |an|
Подставим значения a1 = 429 и d = -33 в формулу для нахождения n-го члена прогрессии:
an = a1 + (n-1)d = 429 + (n-1)(-33) = -4n + 462
Теперь можем переписать неравенство в виде:
|429 + (429-33) + (429-2*33) + ... + (-4n+496)| > |(-4n+462)|
Упростим выражение в модулях:
|429 + 396 + 363 + ... + (-4n+496)| > |-4n+462|
|429n - 331/2n(n-1)| > |4n-462|
429n - 33/2 *n^2 + 33/2 *n > 4n - 462
33/2 *n^2 - 425n + 462 > 0
Найдем корни уравнения:
n1 = 0, n2 = 25, n3 = 28, n4 = 0. Корень n1 не подходит, так как это не натуральное число. Натуральные корни уравнения равны n2 = 25 и n3 = 28.
Проверим значения суммы первых 24, 25 и 27 членов прогрессии на знак:
S24 = 24/2*(429 + 171) = 7656 > 0
S25 = 25/2*(429 + 138) = 7175,5 < 0
S27 = 27/2*(429 + 72) = 6159 > 0
Таким образом, наименьшее количество первых членов арифметической прогрессии, сумма которых будет отрицательной, равно 25.
Ответ:
Sn = n*(a1 + an)/2,
где Sn - сумма первых n членов, a1 - первый член, an - n-ый член.
Если d (разность прогрессии) отрицательна, то каждый следующий член меньше предыдущего. Таким образом, чтобы получить отрицательную сумму, нам нужно взять первые члены прогрессии с наибольшими значениями. Это означает, что нам нужно взять n членов, таких что:
a1 + (n-1)*d < 0,
где a1 = 429, d = -33.
Подставляем значения и решаем уравнение:
429 + (n-1)*(-33) < 0
429 - 33n + 33 < 0
462 - 33n < 0
33n > 462
n > 14.
Таким образом, наименьшее количество первых членов арифметической прогрессии, сумма которых будет отрицательной, равно 15.
Объяснение: