Question

Срочно надо Исследовать функцию и построить ее график

Answer 1

Ответ:

Функция исследована. График построен.

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

$\displaystyle \bf F(x)=\frac{2-4x^2}{1-4x^2}$

1. Область определения функции.

• На ноль делить нельзя.

⇒   $\displaystyle \bf 1-4x^2\neq 0$

$\displaystyle \bf (1-2x)(1+2x)\neq 0\\\\x\neq \pm0,5$

D(y) = (-∞; -0,5)∪(-0,5; 0,5)∪(0,5; +∞)

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle \bf F(-x)=\frac{2-4(-x)^2}{1-4(-x)^2} =\frac{2-4x^2}{1-4x^2}$

⇒ F(-x) = F(x) - функция четная.

3. Пересечение с осями.

1) с осью Ох   ⇒   у = 0

$\displaystyle \bf 2-4x^2 = 0\\\\2(1-\sqrt{2}x)(1+\sqrt{2}x)=0\\ \\ x=\pm\frac{\sqrt{2} }{2}$

2) с осью Оу   ⇒   х = 0

⇒ у = 2

4. Асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты.

$\displaystyle \bf \lim_{x \to \pm0,5} \frac{2-4x^2}{1-4x^2}=\infty$

⇒ x = ± 0,5 - вертикальные асимптоты.

2) Наклонные  у = kx + b.

$\displaystyle \bf k= \lim_{x \to \infty} \frac{F(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2-4x^2}{(1-4x^2)\cdot x}=0\\ \\b= \lim_{x \to \infty} (F(x)-kx)= \lim_{x \to \infty} \frac{2-4x^2}{1-4x^2}=\\ \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^2}-\frac{4x^2}{x^2} }{\frac{1}{x^2}-\frac{4x^2}{x^2} } =1$

⇒ y = 1 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание, точки экстремума.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle \bf F'(x)=\frac{-8x(1-4x^2)-(2-4x^2)\vdot (-8x)}{(1-4x^2)^2} =\\\\=\frac{-8x(1-4x^2-2+4x^2)}{(1-4x^2)^2} =\frac{8x}{(1-4x^2)^2}$

F'(x) = 0   ⇒   x = 0

Не забываем про критические точки в знаменателе.

Получили три точки: х = 0;  х = 0,5;   х = -0,5

Определим знаки на промежутках. (См. вложение)

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутках: [0; 0,5), (0,5; +∞)

Функция убывает на промежутках: (-∞; -0,5), (0,5; 1]

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = 0

F(0) = 2

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка.

$\displaystyle \bf F''(x)=\frac{8(1-4x^2)^2-8x\cdot 2(1-4x^2)\cdot(-8x)}{(1-4x^2)^4} =\\\\=\frac{(1-4x^2)(8-32x^2+128x^2)}{(1-4x^2)^4} =\frac{8+96x^2}{(1-4x^2)^3}$

Числитель всегда положителен.

Рассматриваем точки х = -0,5 и х = 0,5

(См. вложение.)

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция вогнута на промежутке: (-∞; -0,5), (0,5; +∞);

Функция вогнута на промежутке (-0,5; 0,5)

Строим график.