СРОЧНО ДАЮ 40 БАЛОВ!!!!!!
1 . Знайдіть гострий кут прямокутного трикутника, якщо інший його кут дорівнює 1) 34° 2) 77° 3)48°
2. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо:
1) Один із них у 4 рази більше за інший
2) Один із них на 16° менший за другий
3) Їх градусні міри відносяться як 5 : 4
3. Знайдіть більший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута трикутника з гіпотенузою, якщо один з гострих кутів трикутника дорівнює 68°
Ответы
Ответ:
1.Оскільки в прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 90 градусам, то сума двох інших кутів дорівнює 90 градусам. Якщо один з цих кутів дорівнює 30 градусам, то інший кут дорівнює:
90° - 30° = 60°
Отже, гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 60 градусам.
2.
1)Нехай один з гострих кутів прямокутного трикутника має градусну міру x, а інший кут має градусну міру y. За умовою задачі, один із цих кутів у 4 рази більше за інший. Можна записати систему рівнянь:
x = 4y, (1)
x + y = 90. (2)
Підставляючи (1) в (2), отримуємо:
4y + y = 90,
5y = 90,
y = 18.
Таким чином, другий кут прямокутного трикутника має градусну міру 18 градусів. Застосовуючи (1), знаходимо, що перший кут має градусну міру 4 * 18 = 72 градуси. Отже, гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють 72° та 18°
2)Нехай один з гострих кутів прямокутного трикутника має градусну міру x, а інший кут має градусну міру y. За умовою задачі, один із цих кутів на 16 градусів менший за інший. Можна записати систему рівнянь:
x = y - 16, (1)
x + y = 90. (2)
Підставляючи (1) в (2), отримуємо:
y - 16 + y = 90,
2y = 106,
y = 53.
Таким чином, другий кут прямокутного трикутника має градусну міру 53 градуси. Застосовуючи (1), знаходимо, що перший кут має градусну міру 53 - 16 = 37 градусів. Отже, гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють 37° та 53°
3)Нехай один з гострих кутів прямокутного трикутника має градусну міру x, а інший кут має градусну міру y. За умовою задачі, градусні міри цих кутів відносяться як 5 до 4. Можна записати систему рівнянь:
x/y = 5/4, (1)
x + y = 90. (2)
З (1) можна виразити один з кутів через інший:
x = 5y/4.
Підставляючи це вираз у (2), отримуємо:
5y/4 + y = 90,
9y/4 = 90,
y = 40.
Таким чином, другий кут прямокутного трикутника має градусну міру 40 градусів. Застосовуючи (1), знаходимо, що перший кут має градусну міру 5/4 * 40 = 50 градусів. Отже, гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють 50° та 40°.
3.У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута є медіаною та бисектрисою для гіпотенузи, тому вона ділить прямий кут на два рівні кути. Отже, більший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута трикутника з гіпотенузою, дорівнює 45°.
Аби це показати, позначимо більший з гострих кутів трикутника як А, а другий гострий кут як В. Оскільки трикутник прямокутний, то А+В=90°. За теоремою про бісектрису, діляч прямий кут трикутника на два рівні кути, бісектриса СВ ділить сторону АС відповідного трикутника на відрізки АС та ВС, що становлять пропорцію:
AC/BC = AB/BV,
або, підставляючи відомі довжини сторін:
a/c = c/(b - c),
де а та b - катети прямокутного трикутника, а c - гіпотенуза.
Звідси отримуємо:
a(b-c) = c^2,
або
a/b = c/(a+c).
Оскільки АС - бісектриса, то АС ділить кут АСВ навпіл, тому кути САВ та СВА є рівними. Отже, кут ВСА дорівнює 68/2 = 34 градусам, і за теоремою синусів, маємо:
sin(45)/c = sin(34)/a,
або
a/c = sin(34)/sin(45).
Підставляючи вираз для a/b з попереднього кроку, отримуємо:
sin(45)/sin(34) = (a+c)/c,
або
a/c = sin(34)/sin(45 + 34) = sin(34)/sin(79).
Звідси можна знайти, що А=90 - 2АСВ = 90 - 2arctg(a/c) = 90 - 2arctg(sin(34)/sin(79)) ≈ 54.4°. Таким чином, більший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута трикутника