Question

Пятый член арифметической прогрессии равен 3, а сумма шестого и девятого её членов равна 16. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Answer 1

Ответ:

40.

Пошаговое объяснение:

Пятый член арифметической прогрессии равен 3, а сумма шестого и девятого ее членов равна 16. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Воспользуемся формулой n- го члена арифметической прогрессии.

$a{_n}= a{_1}+d\cdot(n-1)$.

$a{_5}= a{_1} +4d;$

Тогда $a{_1} +4d=3$

$a{_6}= a{_1} +5d;\\a{_9}= a{_1} +8d.$

$a{_6}+a{_9}= a{_1} +5d+ a{_1} +8d= 2a{_1} +13d.$

Получим

$2a{_1} +13d=16$

Составим и решим систему

$\left \{\begin{array}{l} a{_1}+4d =3 \\2a{_1}+13d =16 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} a{_1}=3-4d \\2(3-4d)+13d =16 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}=3-4d \\6-8d+13d =16 \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}=3-4d \\5d =10 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}=3-4d \\d =10:5 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}=3-4\cdot 2 \\d =2 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}=-5 \\d =2 \end{array} \right.$

Найдем сумму десяти первых членов арифметической прогрессии по формуле:

$S {_n}= \dfrac{2a{_1}+d\cdot (n-1)}{2} \cdot n$

$S {_{10}}= \dfrac{2a{_1}+9d}{2} \cdot 10$

$S {_{10}}= \dfrac{2\cdot (-5)+9\cdot 2}{2} \cdot 10= \dfrac{-10+18}{2} \cdot 10=4\cdot 10 =40$

Значит, сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 40.

#SPJ1