Коло, вписане у рівнобічну трапецію, поділяє точкой дотику бічну сторону на відрізки довжиною 2 см і 32 см. Знайдите висоту трапеції.
Ответы
Ответ:
4√5
Пошаговое объяснение:
Означимо через ABCD нашу рівнобічну трапецію, де AB || CD і AB = CD. Нехай P - точка дотику вписаного кола до бічної сторони AD, тоді AQ і QD - довжини відрізків AP і PD від точки P до вершин A і D відповідно. За умовою задачі, AQ = QD = 16 см.
Для знаходження висоти трапеції потрібно знайти довжину відрізка BH, де H - точка перетину діагоналей трапеції. За властивостями вписаного кута, маємо:
AP · PD = BP · PC
Оскільки трапеція рівнобічна, то ми можемо записати наступне:
BP = PC = (AB - CD) / 2 = AB / 2
Тоді:
AP · PD = (AB / 2)²
16 · 32 = (AB / 2)²
AB = 8√10
Тепер, за теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABH, маємо:
AH² + BH² = AB²
AH² + BH² = (8√10)²
AH² + BH² = 640
Оскільки трикутник ABH рівнобедрений, то AH = HB, тому ми можемо записати:
2AH² = 640
AH² = 320
AH = 4√5