Question

Площина а, яка паралельна
стороні трикутника ABC,
перетинає сторони ВА і BC
відповідно в точках М і N.
Знайти MN, якщо BM = 4,
AM = 8, AC = 9.

Answer 1

Для того, щоб знайти довжину відрізка MN, ми можемо скористатися теоремою Таліса.

За теоремою Таліса, якщо ми маємо площину, яка паралельна одній стороні трикутника і перетинає дві інші сторони, то довжина відрізка, на якому площина перетинає сторону, дорівнює добутку довжин двох частин сторони, які утворилися після перетину, поділених на третю сторону трикутника.

У нашому випадку, площина а паралельна стороні BC, і перетинає сторону ВА в точці М і сторону BC в точці N. Тому, за теоремою Таліса, ми маємо:

MN = (BM/BC) * AC - AM

За теоремою Піфагора, ми знаємо, що в правильному трикутнику ABC, де С - прямий кут, AB^2 + BC^2 = AC^2. Підставляючи значення AC = 9, ми можемо знайти BC:

BC^2 = AC^2 - AB^2 = 9^2 - 8^2 = 17

BC = √17

Тепер, ми можемо визначити довжину BM, використовуючи поділ відрізка АМ відношенням 2:1:

BM = (2/3) * AM = (2/3) * 8 = 16/3

Підставляючи ці значення в формулу для MN, ми отримуємо:

MN = (16/3 / √17) * 9 - 8 = 81/√17 - 8 ≈ 6.387

Отже, довжина відрізка MN приблизно дорівнює 6.387.

Answer 2

Спочатку побудуємо трикутник ABC і позначимо відповідні сторони і точки:
A
/ \
/ \
M / \ N
/ \
/_________\
B C

Позначимо довжину сторони AB як c, сторони BC як a, а сторони AC як b.

За теоремою Піфагора, в правильному трикутнику ABC з кутом в 60 градусів, ми можемо визначити довжини всіх сторін:

c = AB = 2 * BC = 2a
b = AC = 9
a^2 + c^2 = b^2

Підставляючи значення c, ми можемо виразити a:

a = c / 2 = b / sqrt(4 + 1) = 9 / sqrt(5)

Тепер ми можемо знайти довжину BN:

BN = a - BM = 9 / sqrt(5) - 4

Аналогічно, ми можемо знайти довжину AM:

AN = b - BN = 9 - (9 / sqrt(5) - 4) = 5 + 36 / (9 * sqrt(5))

Таким чином, MN дорівнює різниці між AN і AM:

MN = AN - AM = 36 / (9 * sqrt(5))

Отже, MN дорівнює 4 * sqrt(5).