Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (ответ округлите до единиц): a) y=3^x, y=1, x=1
b) y=2^x, y=2^-x, y=2

Answer 1

Объяснение:

$a)\\\displaystyle\\y=3^x\ \ \ \ y=1\ \ \ \ x=1\ \ \ \ S=?\\\\3^x=1\ \ \ \ \Rightarrow\\\\x=0.\\\\S=\int\limits^1_0 {(3^x-1)} \, dx =\int\limits^1_0 {3^x} \, dx-\int\limits^1_0 \, dx= \frac{3^x}{ln3}\ |_0^1-x\ |_0^1=\\\\=\frac{3^1}{ln3} -\frac{3^0}{ln3} -(1-0)=\frac{3}{ln3} -\frac{1}{ln3} -1=\frac{2}{ln3}-1\approx0,82.$

Ответ: S≈0,82 кв. ед.

$b)\\y=2^x\ \ \ \ y=2^{-x}\ \ \ \ y=2\ \ \ \ S=?$

$\displaystyle\\2^x=2\ \ \ \ \Rightarrow\\\\x=1.\\\\\2^{-x}=2\ \ \ \ \Rightarrow\\\\x=-1.\\\\S=\int\limits^0_{-1} {(2-2^{-x})} \, dx +\int\limits^1_0 {(2-2^x)} \, dx=\int\limits^0_{-1} {2} \, dx-\int\limits^0_{-1} {2^{-x}\ |_{-1}^0 } \, dx +\int\limits^1_0 {2} \, dx-\int\limits^1_0 {2^x} \, dx=\\ \\=2x\ |_{-1}^0-(-\frac{2^{-x }}{ln2}) \ |_{-1}^0 +2x\ |_0^1-\frac{2^x}{ln2} \ |_0^1=\\\\=2*0-2*(-1)+(\frac{2^{-0}}{ln2} -\frac{2^{-(-1)}}{ln2}) +2*1-2*0-(\frac{2^1}{ln2} -\frac{2^0}{ln2})=$

$\displaystyle\\=0+2+(\frac{1}{ln2}-\frac{2}{ln2} )+2-0-(\frac{2}{ln2}-\frac{1}{ln2})=4-\frac{1}{ln2} -\frac{1}{ln2} =4-\frac{2}{ln2}\approx2,614 .$

Ответ: S≈2,614 кв.ед.