Ответы
Ответ:
Нехай ABC - трикутник, M - середина сторони BC, H - опущена з вершини A на сторону BC, AM - медіана. Треба довести, що AM = 1/2 * AH.
Розглянемо трикутники ABM та ACH:
ABM:
Сторона AB спільна.
Сторона BM спільна і ділиться точкою M на дві рівні частини.
Сторона AM спільна і ділиться точкою M на дві рівні частини (M - середина).
Звідси випливає, що трикутники ABM і ACH мають спільний кут при вершині A.
ACH:
Сторона AC спільна.
Сторона CH - висота, опущена на сторону AC.
Звідси випливає, що кут між стороною AC та висотою CH прямий (90°), а отже, трикутник ACH є прямокутним.
Таким чином, маємо два подібні трикутники зі спільним кутом між сторонами AB та AC, тому за теоремою про подібність трикутників:
AB/AC = AM/AH
Або, еквівалентно:
AM = AB * AH / AC
Але ми знаємо, що в прямокутному трикутнику ACH виконується:
AH^2 + HC^2 = AC^2
Звідси маємо:
AH^2 = AC^2 - HC^2
AH^2 = AC^2 - (AB^2/4)
AH^2 = (4AC^2 - AB^2)/4
AH = sqrt((4AC^2 - AB^2)/4)
AH = 1/2 * sqrt(4AC^2 - AB^2)
Підставляючи це значення AH у попереднє рівняння, отримуємо:
AM = AB * AH / AC
AM = AB * (1/2 * sqrt(4AC^2 - AB^2)) / AC
AM = AB * sqrt(4AC^2 - AB^2) / (2AC)
AM = sqrt((4AB^2 - AB^2)/4)
AM = 1/2 * AB
Отже, довели, що AM = 1/2 * AH, що і треба було довести.