Question

Сформулювати і довести просторову теорему Піфагора

Answer 1

Просторова теорема Піфагора стверджує, що для будь-якого правильного прямокутного трикутника в тривимірному просторі, квадрат гіпотенузи (сторони, що лежить напроти прямого кута) дорівнює сумі квадратів катетів (сторін, що лежать прилегло до прямого кута).

Для доведення просторової теореми Піфагора, спочатку ми можемо розглянути плоский випадок, який є частковим випадком тривимірної теореми Піфагора. Для правильного прямокутного трикутника на площині ми маємо:

Квадрат гіпотенузи = (довжина катету 1)² + (довжина катету 2)²

Ми можемо уявити цей трикутник в тривимірному просторі, додавши третю координату до кожної точки. Якщо ми побудуємо куб з трьох граней, довжина якої дорівнює довжинам катетів і гіпотенузи, то ми можемо побачити, що кожна грань куба складається з квадратів зі сторонами, що дорівнюють довжині катетів і гіпотенузи.

Отже, площа кожної грані куба дорівнює сумі квадратів довжин катетів і гіпотенузи. Оскільки кожен кут трикутника є прямим кутом, кожна грань куба простягається вздовж кожної сторони трикутника. Завдяки цьому, сума площ граней куба дорівнює площі поверхні куба. З іншого боку, поверхня куба дорівнює площі всіх граней, тобто сумі квадратів довжин катетів і гіпотенузи.

Таким чином, ми довели, що площа поверхні куба дорівнює сумі квадратів довжин катет