Медіана і висота, проведені з вершини прямого кута трикутника АВС, перетнули
гіпотенузу так, що утворився рівнобедрений прямокутний трикутник. Знайдіть кути даного
трикутника АВС.
Ответы
Объяснение:
Позначимо вершину прямого кута трикутника АВС як С, а висоту, проведену з вершини С, як CH і медіану, проведену з вершини С, як CM. Оскільки рівнобедрений прямокутний трикутник має дві однакові сторони, то відомо, що CH = CM.
Позначимо точку перетину медіани з гіпотенузою як М, а точку перетину висоти з гіпотенузою як Н. Тоді, оскільки рівнобедрений трикутник АНМ має дві однакові сторони, то точки М та Н знаходяться на одній відстані від середини гіпотенузи, тобто
AM = BM = HM = CM/2.
Далі, оскільки трикутник АСМ прямокутний, то ми можемо скористатися теоремою Піфагора для знаходження сторін АМ та СМ:
AM^2 + CM^2 = AC^2,
CM^2 + SM^2 = CS^2,
де СМ = СН + НМ = СН + МА.
Підставляючи вираз для АМ з першого рівняння до другого, отримаємо:
CM^2 + SM^2 = CS^2,
CM^2 + (CH + AM)^2 = AC^2.
Оскільки ми знаємо, що CH = CM, то можемо замінити CM на CH у другому рівнянні:
CH^2 + (CH + AM)^2 = AC^2.
Розв'язавши це рівняння відносно AM, ми отримаємо:
AM = (AC^2 - 2CH^2) / (2AC).
Далі, ми можемо знайти кути трикутника АВС, використовуючи теорему синусів:
sin(A) = AM / AC,
sin(B) = BM / AC,
sin(C) = CM / AC.
Отже, ми можемо обчислити синуси кутів трикутника АВС за допомогою AM та AC, та знайти кути А, В та С за допомогою обернених функцій синуса.