Звести рівняння еліпса до канонічного вигляду. Знайти координати центра, півосі, координати фокусів, ексцентриситет, рівняння директрис, якщо 9x^2+4y^2+54x-40y+145=0
Ответы
Ответ:
Чтобы привести данный эллипс в каноническую форму, нам нужно заполнить квадрат как для x, так и для y членов:
9x^2 + 4y^2 + 54x - 40y + 145 = 0
9(x^2 + 6x) + 4(y^2 - 10y) + 145 = 0
9(x^2 + 6x + 9) - 9(9) + 4(y^2 - 10y + 25) - 4(25) + 145 = 0
9(х)
Теперь мы видим, что данное уравнение представляет собой эллипс в канонической форме. Центром эллипса является (-3, 5). Полуоси a = 2,5 и b = 5. Расстояние от центра до каждого фокуса равно c = sqrt(a^2 - b^2) = sqrt(6.25) = 2.5*sqrt(2). Координаты фокусов (-
Директрисы задаются x = (-a^2 + c^2)/c + h и x = (a^2 - c^2)/c + h для горизонтальных эллипсов, и y = (-a^2 + c^2)/c + k и y = (a^2 - c^2)/c + k для вертикальных эллипсов. Поскольку это горизонтальный эллипс, директрисы задаются следующим образом:
x = (-2,5^2 + (2,5*кв.рт(2)площадь(2) - 3
x = (2,5^2 - (2,5)sqrt(2))^2)/(2.5sqrt(2)) - 3 = 2.5площадь(2) - 3
Поэтому уравнения директрисов y = 5 - 2,5*sqrt(2) - 3 иsqrt(2) + 2 и y = -2,5sqrt(2) + 8.