Ответы
Ответ:
Для того, щоб довести, що послідовність (а) обмежена знизу, ми повинні знайти таке число (мінімальне), яке є нижчим за всі значення цієї послідовності. Розглянемо обидві задані послідовності окремо:
an = n³ - 8n
Для того, щоб знайти мінімальне значення цієї послідовності, розглянемо її при n = 0, 1, 2, 3, ...
a₀ = 0³ - 8 * 0 = 0
a₁ = 1³ - 8 * 1 = -7
a₂ = 2³ - 8 * 2 = -8
a₃ = 3³ - 8 * 3 = 1
a₄ = 4³ - 8 * 4 = 16
...
Отже, найменшим значенням в цій послідовності є -8, яке досягається при n = 2. Таким чином, ми знайшли таке число (-8), яке є нижчим за всі значення послідовності (а), тому послідовність (а) обмежена знизу.
an = n⁻²
У цій послідовності, мінімальне значення може бути досягнуте при дуже великих n, але ми можемо знайти будь-яке значення, яке є нижчим за всі інші. Для цього можна вибрати довільне додатнє число С і знайти n таке, що 1/n² < C. Зокрема, можна взяти C = 1, тоді 1/n² < 1, тобто n > 1. Отже, для всіх n > 1 виконується нерівність an = n⁻² < 1, тому послідовність (а) обмежена знизу числом 1.
Таким чином, ми довели, що обидві задані послідовності обмежені знизу, і їх можна записати наступним чином:
a(n) ≥ -8
a(n) ≥ 1/n² для всіх n > 1
Объяснение: