Question

Доведіть, що Cos2альфа/ 1-Sin2aльфа = сtg(П/4- альфа)

Answer 1

Ми можемо використовувати формули тригонометрії, щоб спростити ліву частину та праву частину рівності і довести їх рівність.

Ліва частина:
cos(2α) / (1 - sin^2(α))
За формулою подвійного кута:
cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)
Тоді ліва частина стає:
(cos^2(α) - sin^2(α)) / (1 - sin^2(α))

Права частина:
ctg(П/4 - α)
За формулою тангенсу різниці кутів:
ctg(П/4 - α) = (1 / tan(П/4)) - tan(α)
Оскільки tan(П/4) = 1, то права частина спрощується до:
1 - tan(α)

Тепер застосуємо формулу тангенсу:
tan(α) = sin(α) / cos(α)

Підставимо в праву частину:
1 - tan(α) = 1 - sin(α) / cos(α) = (cos(α) - sin(α)) / cos(α)

Тоді права частина рівності стає:
(cos(α) - sin(α)) / cos(α)

Залишилося показати, що ліва частина рівна правій частині:
(cos^2(α) - sin^2(α)) / (1 - sin^2(α)) = (cos(α) - sin(α)) / cos(α)

Спочатку помножимо праву частину на (1 + sin^2(α)) / (1 + sin^2(α)):
((cos(α) - sin(α)) / cos(α)) * ((1 + sin^2(α)) / (1 + sin^2(α))) = (cos(α) - sin(α) + cos(α) * sin^2(α)) / cos(α)

Тоді ліва частина стає:
(cos^2(α) - sin^2(α)) * (1 + sin^2(α)) / (cos^2(α) - sin^2(α) * sin^2(α))
= cos^2(α) * (1 + sin^2(α)) / cos^2(α)
= 1 + sin^2(α)

Отже, ліва частина рівна (1 + sin^2(α)), а права частина рівна (cos(α) - sin(α) + cos(α) * sin^2(α)) / cos(α). Ми можемо продовжувати спрощувати праву частину:

(cos(α) - sin(α) + cos(α) * sin^2(α)) / cos(α)