A1 A2...An - правильний многокутник. O-центр кола, описаного навколо многокутника. Знайти кількість сторін правильного многокутника.
Ответы
Ответ:
Для правильного многокутника з n сторонами радіус кола описаного навколо нього дорівнює стороні многокутника. При цьому, центр кола описаного навколо многокутника збігається з центром многокутника.
Таким чином, можна записати формулу для знаходження радіуса кола описаного навколо многокутника:
R = a/2sin(π/n),
де R - радіус кола описаного навколо многокутника,
a - довжина сторони многокутника,
n - кількість сторін многокутника.
Оскільки многокутник є правильним, то всі сторони мають однакову довжину. Позначимо довжину сторони многокутника як a. Оскільки O є центром кола описаного навколо многокутника, то відрізок AO є радіусом цього кола і має довжину R.
Тоді за теоремою синусів можна записати:
a/2sin(π/n) = R/a
a^2 = 2R^2sin(π/n)
a = 2Rsin(π/n)^(1/2)
Таким чином, ми знайшли вираз для довжини сторони многокутника через радіус кола описаного навколо нього. Оскільки нам потрібно знайти кількість сторін многокутника, то потрібно знайти таке ціле число n, щоб довжина сторони многокутника була раціональним числом.
Наприклад, для правильного п'ятикутника (n=5) вираз для довжини сторони має вигляд:
a = 2Rsin(π/5)^(1/2) = 2R(5-2(5)^(1/2))^(1/2)
Таким чином, якщо знайдена довжина сторони є раціональним числом, то кількість сторін многокутника можна знайти, діливши 360 на кутовий розмір однієї з вершин. Наприклад, для правильного п'ятикутника кутовий розмір дорівнює 360/5 = 72 градусів, що в