35 баллов помогите пж. в прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки 6 2/3 и 5 1/3. вычислите периметр и площадь треугольника
![](https://st.uroker.com/files/7cd/7cd6cd670f4e8959f5e37741772b528b.jpg)
Ответы
Ответ:
Позначимо сторони прямокутного треугольника через a, b та c, де c - гіпотенуза, а a та b - катети. Нехай бисектриса острого кута перетинає катет b на дві частини, довжини яких дорівнюють 6 2/3 та 5 1/3, тобто b1 = 20/3 та b2 = 16/3.
Оскільки бісектриса острого кута ділить катет на дві частини, пропорційні до інших двох сторін, ми можемо записати:
b1/b2 = c/a
Звідси:
a/b = c/b1 = c/(20/3) = 3c/20
a = 3cb/20
Оскільки a та b є катетами, вони перпендикулярні між собою і задовольняють теорему Піфагора:
a^2 + b^2 = c^2
Підставимо вираз для a, що ми отримали раніше, із виразом для b1 та b2, що ми отримали з умови:
(3cb/20)^2 + (20/3)^2 = c^2
9c^2b^2/400 + 400/9 = c^2
81c^2b^2 + 1600 = 3600c^2
81c^2b^2 = 2000c^2 - 1600
81b^2 = 2000 - 1600/c^2
b^2 = (2000/81) - (1600/81c^2)
b = sqrt((2000/81) - (1600/81c^2))
Тепер ми можемо обчислити периметр треугольника:
P = a + b + c = 3cb/20 + sqrt((2000/81) - (1600/81c^2)) + c
Залишається знайти значення c, щоб обчислити периметр та площу. Ми можемо записати пропорцію для бісектриси острого кута та застосувати дані з умови:
b1/b2 = c/a
20/3 : 16/3 = c/b
c = (20/3) * (b2/b1)
c = (20/3) * (16/20)
c = 16/3
Отже, ми отримали, що гіпотенуза треугольника c дорівнює 16/3. Тепер можемо обчислити периметр та площу:
P = 3cb/20 + sqrt((2000/81)