Question

35 баллов помогите пж. в прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки 6 2/3 и 5 1/3. вычислите периметр и площадь треугольника ​

Answer 1

Ответ:

Позначимо сторони прямокутного треугольника через a, b та c, де c - гіпотенуза, а a та b - катети. Нехай бисектриса острого кута перетинає катет b на дві частини, довжини яких дорівнюють 6 2/3 та 5 1/3, тобто b1 = 20/3 та b2 = 16/3.

Оскільки бісектриса острого кута ділить катет на дві частини, пропорційні до інших двох сторін, ми можемо записати:

b1/b2 = c/a

Звідси:

a/b = c/b1 = c/(20/3) = 3c/20

a = 3cb/20

Оскільки a та b є катетами, вони перпендикулярні між собою і задовольняють теорему Піфагора:

a^2 + b^2 = c^2

Підставимо вираз для a, що ми отримали раніше, із виразом для b1 та b2, що ми отримали з умови:

(3cb/20)^2 + (20/3)^2 = c^2

9c^2b^2/400 + 400/9 = c^2

81c^2b^2 + 1600 = 3600c^2

81c^2b^2 = 2000c^2 - 1600

81b^2 = 2000 - 1600/c^2

b^2 = (2000/81) - (1600/81c^2)

b = sqrt((2000/81) - (1600/81c^2))

Тепер ми можемо обчислити периметр треугольника:

P = a + b + c = 3cb/20 + sqrt((2000/81) - (1600/81c^2)) + c

Залишається знайти значення c, щоб обчислити периметр та площу. Ми можемо записати пропорцію для бісектриси острого кута та застосувати дані з умови:

b1/b2 = c/a

20/3 : 16/3 = c/b

c = (20/3) * (b2/b1)

c = (20/3) * (16/20)

c = 16/3

Отже, ми отримали, що гіпотенуза треугольника c дорівнює 16/3. Тепер можемо обчислити периметр та площу:

P = 3cb/20 + sqrt((2000/81)