ТЕРМІНОВО!
Доведіть, що коли остача при діленні натурального числа на 16 дорівнює 4, то квадрат цього числа ділиться націло на 16.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Для доведення даного твердження використаємо визначення остачі від ділення: якщо при діленні натурального числа a на позитивне число b ми отримали остачу r, то існує таке натуральне число q, що a = bq + r і 0 ≤ r < b.
Нехай задане натуральне число a, для якого остача від ділення на 16 дорівнює 4, тобто a ≡ 4 (mod 16).
Тоді за визначенням остачі, існує таке натуральне число q, для якого a = 16q + 4.
Піднесемо обидві частини рівності до квадрату:
a^2 = (16q + 4)^2 = 256q^2 + 128q + 16.
За визначенням ділення націло, для того, щоб довести, що квадрат числа a ділиться націло на 16, необхідно показати, що a^2 ≡ 0 (mod 16).
Розглянемо остачі a^2 від ділення на 16:
a^2 ≡ (256q^2 + 128q + 16) ≡ 0 (mod 16).
Отримали, що a^2 ділиться націло на 16. Таким чином, довели, що якщо остача при діленні натурального числа на 16 дорівнює 4, то квадрат цього числа ділиться націло на 16.