Ответы
1) Скористаємося тригонометричною ідентичністю sin² x + cos² x = 1, щоб замінити квадрат косинуса на квадрат синуса:
6sin² x - 7sin x cos x + sin² x = 0
Об'єднаємо перший і третій доданки, щоб отримати квадрат синуса:
7sin x cos x = 7/2 sin 2x
Тепер можемо замінити другий доданок на отриманий вираз:
6sin² x - 7/2 sin 2x = 0
Розділимо обидві частини на sin x (з умови, sin x ≠ 0), щоб отримати лінійне рівняння відносно sin x:
6sin x - 7/2 cos x = 0
sin x = 7/12 cos x
Тепер можемо підставити отриману залежність в одне з вихідних рівнянь:
6(7/12 cos x)² - 7(7/12 cos x)cos x + cos² x = 0
Скористаємося формулою для косинуса добутку:
cos² x - (7/12)cos x + (7/24) = 0
Застосуємо формулу дискримінанту і знайдемо його значення:
D = b² - 4ac = (7/12)² - 4(6)(7/24) = -35/72
Дискримінант від'ємний, тому рівняння не має розв'язків. Отже, рівняння 6sin² x - 7sin x cos x + cos² x = 0 не має розв'язків у множині дійсних чисел.
2) Розпочнемо з використання формули подвійного кута для синуса:
sin 2x = 2sin x cos x
Тоді можна записати:
2sin x cos x = √2/2
Поділимо обидві частини на 2 та скористаємося тригонометричною ідентичністю sin² x + cos² x = 1:
sin x cos x = √2/4
Далі скористаємося формулою для добутку тригонометричних функцій:
sin x cos x = 1/2 · sin 2x
Отже, маємо:
1/2 · sin 2x = √2/4
sin 2x = (√2/4) · 2 = √2/2
Отримали вихідне рівняння, тому можемо сказати, що розв'язком є будь-яке число вигляду x = π/8 + πk/2, де k - ціле число.