Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Необхідно знайти невизначений інтеграл від функції sin³2x.
Спочатку варто скористатися формулою для куба синуса:
sin³x = (3sinx - sin3x) / 4
Підставимо у формулу x = 2x:
sin³2x = (3sin2x - sin6x) / 4
Тепер можемо підставити цей вираз у початковий інтеграл:
∫ sin³2x dx = ∫ [(3sin2x - sin6x) / 4] dx
Розділимо цей інтеграл на два доданки і інтегруємо їх окремо:
∫ [(3sin2x - sin6x) / 4] dx = (3/4) ∫ sin2x dx - (1/4) ∫ sin6x dx
Перший інтеграл можна взяти просто, використовуючи формулу для невизначеного інтегралу sin2x:
(3/4) ∫ sin2x dx = (-3/8) cos2x + C₁
Другий інтеграл можна взяти заміною t = 6x:
(1/4) ∫ sin6x dx = (-1/24) cos6x + C₂
Замінимо назад t на 6x і підставимо отримані вирази у вихідний інтеграл:
∫ sin³2x dx = (3/4) ∫ sin2x dx - (1/4) ∫ sin6x dx
= (-3/8) cos2x + C₁ - (1/4)(-1/24) cos6x + C₂
= (-3/8) cos2x + (1/96) cos6x + C
Тут С - загальна стала інтегрування, що складається з обох сталих підінтегральних доданків. Отже, відповідь:
∫ sin³2x dx = (-3/8) cos2x + (1/96) cos6x + C.