Вирішити задачі за допомогою систем
1)Відстань між двома містами 480 км. З одного міста до іншого виїхали одночасно два автомобілі. Швидкість першого автомобіля на 20 км/год більша за швидкість другого, через що він приїхав у пункт призна- чення на 2 год раніше, ніж другий. Знайдіть швидкість кожного ав томобіля.
2)3 міста А в місто В, відстань між якими дорівнює 420 км, виїхав лег- ковий автомобіль. Через 3 год після цього з міста в у місто А виїхав вантажний автомобіль, який зустрівся з легковим через 3 год після свого виїзду. Легковий автомобіль долає відстань між містами А і В на 3 год 30 хв швидше, ніж вантажний. Знайдіть швидкість кожного
Ответы
Объяснение:
1) Нехай швидкість другого автомобіля дорівнює v км/год. Тоді швидкість першого автомобіля буде дорівнювати (v+20) км/год.
Відстань між містами дорівнює 480 км.
Нехай t годин пройшло з моменту виїзду автомобілів.
За цей час другий автомобіль проїхав відстань S1 = v*t км.
Перший автомобіль проїхав відстань S2 = (v+20)*(t-2) км, тому що він приїхав на 2 години раніше.
Оскільки відстань між містами однакова, то S1 + S2 = 480 км.
Отже, маємо систему рівнянь:
{
S1 + S2 = 480,
S1 = vt,
S2 = (v+20)(t-2).
}
Підставляємо вирази для S1 та S2 у перше рівняння системи:
vt + (v+20)(t-2) = 480.
Розв'язуємо це рівняння відносно t:
vt + 20t - 2v - 40 = 480,
vt - 2v + 20t = 520,
t(v+20) - 2v = 520,
t = (2v + 520) / (v + 20).
Підставляємо знайдене значення t у вираз для S1:
S1 = v * (2v + 520) / (v + 20).
Розв'язуємо рівняння S1 + S2 = 480 відносно v:
v * (2v + 520) / (v + 20) + (v+20) * ((2v + 520) / (v + 20) - 2) = 480,
2v^2 + 520v + 2v^2 + 520v - 40v - 10400 = 480(v + 20),
4v^2 - 240v - 10400 = 0,
v^2 - 60v - 2600 = 0.
Розв'язуємо це квадратне рівняння за допомогою формули коренів:
v1,2 = (60 ± √(60^2 + 4*2600)) / 2 = (60 ± 100) / 2.
Отримаємо два корені:
v1 = 80 (км/год), v2 = -20 (км/год).
Оскільки швидкість не може бути від'ємною, то відповідь: швидкість пер
2)Позначимо швидкість легкового автомобіля через v_1 і швидкість вантажного автомобіля через v_2. Тоді за першою частиною умови маємо систему рівнянь:
420 = 3v_1 + 6v_2
420 = 6v_1 + 3v_2 - 210
Перше рівняння отримали з відстані між містами і часу руху двох автомобілів, друге рівняння отримали з різниці часів прибуття двох автомобілів до міста В (легкового раніше на 2 години).
Розв'язуючи цю систему, отримаємо:
v_1 = 90
v_2 = 50
Тому швидкість легкового автомобіля дорівнює 90 км/год, а швидкість вантажного автомобіля дорівнює 50 км/год