2. a1, a2, ..., a2022 - неотрицательные действительные числа и a1 + a2 + ... + a2022 = 1. Максимально сколько упорядоченных пар (i, j) a^2 +aj 2: будет? 2021
Ответы
Ответ:Мы можем заменить каждый член последовательности a1, a2, ..., a2022 на квадратный корень из него, так как квадратный корень является монотонно возрастающей функцией на неотрицательных числах. Это не изменит сумму элементов последовательности, так как сумма корней равна корню из суммы.
Таким образом, мы можем рассмотреть новую последовательность b1, b2, ..., b2022, где bi = √ai для i = 1, 2, ..., 2022.
Заметим, что a^2i + a^2j ≤ (ai + aj)^2 для любых неотрицательных действительных чисел ai и aj. Это следует из раскрытия скобок в выражении (ai + aj)^2 и применения неравенства Коши-Буняковского.
Таким образом, мы можем оценить сумму a^2i + a^2j сверху как сумму (ai + aj)^2 для всех упорядоченных пар (i, j). Используя свойство монотонности квадратного корня, мы можем заменить каждый член этой суммы на (bi + bj)^2.
Теперь нам нужно максимизировать сумму (bi + bj)^2 для всех упорядоченных пар (i, j). Мы можем раскрыть квадрат и перегруппировать члены, чтобы получить:
2(bi^2 + bj^2) + 2bi bj
Мы хотим максимизировать это выражение для всех упорядоченных пар (i, j). Чтобы это сделать, мы должны выбрать b1, b2, ..., b2022 так, чтобы сумма би была равна 1/√2022, а сумма би^2 была максимальной.
Это достигается, когда все би равны 1/√2022. В этом случае сумма би^2 равна 2022/2022 = 1, и максимальное значение суммы (bi + bj)^2 для всех упорядоченных пар (i, j) равно 2(1/2022) + 2(1/2022)(1/2022) = 2/2022 + 2/2022^2.
Таким образом, максимальное количество упорядоченных пар (i, j) таких, что a^2i + a^2j > 2, равно:
2022 * 2021 / 2 - 2022 = 2044241.