У прямокутному трикутнику ABC з гіпотенузою АВ провели медіану СМ. Обчисліть довжину гіпотенузи, якщо кут А =30°, а периметр трикутника ВСМ дорівнює 18 см
Ответы
Ответ:
Спочатку знайдемо довжину медіани СМ. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, розбиває гіпотенузу на дві рівні частини. Тому, якщо АВ = c, то СМ = 1/2 c.
Так як ми знаємо, що А=30°, то ми можемо використовувати теорему синусів для знаходження довжини гіпотенузи АВ:
sin(30°) = BC/AB
1/2 = BC/AB
AB = 2BC
Таким чином, довжина гіпотенузи дорівнює AB = 2BC = 4SM.
Також нам дано, що периметр трикутника ВСМ дорівнює 18 см. Позначимо BC = a, і довжини ВС та МС як b та с відповідно. Тоді периметр трикутника ВСМ можна записати у вигляді:
a + b + c = 18 см
Але ми також знаємо, що СМ = 1/2 c, тому ми можемо виразити c через СМ:
c = 2SM
Тоді наше рівняння перетвориться на:
a + b + 2SM = 18 см
Але медіана СМ також є медіаною трикутника ВСА, тому відповідно до теореми медіани, ми можемо записати:
2SM^2 + BC^2 = 2AB^2
Підставляємо BC = a і AB = 2a, тоді:
2SM^2 + a^2 = 8a^2
2SM^2 = 7a^2
SM^2 = (7/2)a^2
SM = sqrt(7/2) * a
Тепер ми можемо виразити гіпотенузу через медіану:
AB = 4SM = 4 * sqrt(7/2) * a
Підставляємо це в наше рівняння для периметру трикутника ВСМ:
a + b + 2SM = 18 см
a + b + 2 * sqrt(7/2) * a = 18 см
(a * (2 + 2 * sqrt(7/2))) + b = 18 см
Таким чином, ми виразили суму сторін трикутника ВСМ через довжину сторони ВС (a) і довжину сторони МС
Объяснение: