Question

Розв'язати диференціальне рівняння і знайдіть частинні розв’язки які задовольняють даним умовам:
ydx + ctgxdy = 0, y = -1 при х = п /3.​

Answer 1

Ответ:

Розв'язок на фото.......

Answer 2

Ответ:y = -sin(x) або y = sin(x)

Пошаговое объяснение:

Почнемо з розділення змінних:

ydx + ctg(x)dy = 0

Перенесемо y відносно dy, а ctg(x) відносно dx та інтегруємо:

∫(1/y)dy = -∫ctg(x)dx

ln|y| = -ln|sin(x)| + C

де C - довільна стала.

Застосуємо початкову умову y = -1 при x = π/3:

ln|-1| = -ln|sin(π/3)| + C

ln(1) = -ln(√3/2) + C

0 = -ln(√3/2) + C

C = ln(√3/2)

Отже, загальний розв'язок диференціального рівняння має вигляд:

ln|y| = -ln|sin(x)| + ln(√3/2)

ln|y| = ln(√3/2) / |sin(x)|

y = ± (√3/2) / sin(x)

Застосовуючи умову y = -1 при x = π/3, маємо:

-1 = ± (√3/2) / sin(π/3)

-1 = ± (√3/2) / (√3/2)

-1 = ± 1

Тому частинні розв'язки, які задовольняють умовам, мають вигляд:

y = -sin(x) або y = sin(x)