Question

......................................

Answer 1

Создадим таблицу 6х6, которая соответствует рассматриваемым точкам:

$\begin{array}{cccccccc}5&||&\\4&||&\\3&||&\\2&||&\\1&||&\\0&||&1\\ y&&=&=&=&=&=&=\\&x&0&1&2&3&4&5\end{array}$

Обозначим:

p(x; y) - число способов добраться из точки (0; 0) в точку (x; y)

Тогда:

p(0; 0) = 1, так как из точки добраться в нее саму существует один способ (стоять на месте)

Заметим, что $p(x;\ 0)=0,\ 1\leqslant x\leqslant5$, так как при движении из начальной точки (0; 0) координата "у" должна увеличиться.

$\begin{array}{cccccccc}5&||&\\4&||&\\3&||&\\2&||&\\1&||&\\0&||&1&0&0&0&0&0\\ y&&=&=&=&=&=&=\\&x&0&1&2&3&4&5\end{array}$

Рассмотрим точки с $y=1$. Попасть в каждую из этих точек мы можем из любой точки которая имеет меньшую координату по "у". Записать это можно в виде формулы:

$p(x;\ 1)=\sum\limits_{i=0}^5 p(i;\ 0)$

Но можно сказать проще: в каждой ячейке первой строки будет записана сумма всей ячеек нулевой строки.

$p(x;\ 1)=1+0+0+0+0+0=1$

$\begin{array}{cccccccc}5&||&\\4&||&\\3&||&\\2&||&\\ 1&||&1&1&1&1&1&1 \\0&||&1&0&0&0&0&0\\ y&&=&=&=&=&=&=\\&x&0&1&2&3&4&5\end{array}$

Рассмотрим точки с $y=2$. Вновь, попасть в каждую из этих точек мы можем из любой точки которая имеет меньшую координату по "у":

$p(x;\ 2)=\sum\limits_{i=0}^5 \sum\limits_{j=0}^1 p(i;\ j)$

Проще говоря, в каждой ячейке второй строки будет записана сумма всей ячеек нулевой и первой строки.

$p(x;\ 2)=1+1\cdot6=7$

$\begin{array}{cccccccc}5&||&\\4&||&\\3&||&\\2&||&7&7&7&7&7&7\\ 1&||&1&1&1&1&1&1 \\0&||&1&0&0&0&0&0\\ y&&=&=&=&=&=&=\\&x&0&1&2&3&4&5\end{array}$

Заметна закономерность, что в каждой строке, начиная с первой, записывается одно и то же число. Поймем как изменяется это число от строки к строке.

Пусть сумма чисел в первых k строках равна $S_k$. Тогда, в каждой ячейке строки с номером (k+1) будет записано число $S_k$. Учитывая, что в одной строке находится 6 чисел, то общая сумма чисел в строке с номером (k+1) равна $6S_k$. Таким образом, сумма чисел в первых (k+1) строках равна $S_k+6S_k=7S_k$. Но именно это число должно быть записано в каждой ячейке строки с номером (k+2).

Значит, в (k+1)-ой строке записано число $S_k$, а в (k+2)-ой строке записано число $7S_k$. Следовательно, в последующей строке записываются числа в 7 раз большие, чем в предыдущей строке.

Значит, в каждой ячейке третьей строки будет записано число:

$p(x;\ 3)=7p(x;\ 2)=7\cdot7=49$

В каждой ячейке четвертой строки будет записано число:

$p(x;\ 4)=7p(x;\ 3)=7\cdot49=343$

В каждой ячейке пятой строки будет записано число:

$p(x;\ 5)=7p(x;\ 4)=7\cdot343=2401$

В частности:

$p(5;\ 5)=2401$

Таблица примет вид:

$\begin{array}{cccccccc}5&||&2401&2401&2401&2401&2401&2401\\ 4&||&343&343&343&343&343&343\\ 3&||&49&49&49&49&49&49\\ 2&||&7&7&7&7&7&7\\ 1&||&1&1&1&1&1&1 \\0&||&1&0&0&0&0&0\\ y&&=&=&=&=&=&=\\&x&0&1&2&3&4&5\end{array}$

Ответ: 2401