Question

2+8+24+64+...+n*2^n ?

Answer 1

Ответ:

$(n-1)\cdot2^{n+1}+2$

Объяснение:

Требуется найти сумму чисел вида a · 2ᵃ для a = 1, 2, ..., n. Обозначим эту сумму за S:

$S=1\cdot2^1+2\cdot2^2+\dots+n\cdot 2^n$

Тогда 2S равно

$2S=0\cdot 2^1+1\cdot 2^2+\dots+(n-1)\cdot2^n+n\cdot2^{n+1}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$2S-S=(0-1)\cdot2^1+(1-0)\cdot2^2+\dots+((n-1)-n)\cdot2^n+n\cdot2^{n+1}\\S=-(2^1+2^2+\dots+2^n)+n\cdot2^{n+1}$

В скобках стоит геометрическая прогрессия, её сумма равна $2^{n+1}-2$. Тогда вся сумма равна

$S=n\cdot2^{n+1}-(2^{n+1}-2)=(n-1)\cdot2^{n+1}+2$