Question

Найдите сумму всех трехзначных чисел абс, для которых а < b < с если abc = x mod 27,bca = y mod 27, cab = z mod 27, (x,y,z) c (1,2,3,4,5) Мой ответ​

Answer 1

Ответ: Сумма всех трехзначных чисел abc равна   1551

Объяснение:

Найдите сумму всех трехзначных чисел abc, для которых а < b < с если abc ≡ x mod 27,bca ≡ y mod 27, cab ≡ z mod 27, (x,y,z) c (1,2,3,4,5)

Мы имеем систему :

$\left \{ \begin{array}{l} \overline{abc} \equiv x\mod 27 \\\\ \overline{bca} \equiv y\mod 27\\\\ \overline{cab} \equiv z\mod 27 \end{array}$

Вычтем из второго  уравнения  системы первое :

$\overline{bca}- \overline{abc} \equiv y-x\mod 27 \\\\\ 90b + 9c - 99a = y-x \mod 27 \\\\ \boxed{9(10b + c - 11a)= y-x \mod 27}$

Теперь заметим , что левая часть кратна 9 ,   а число кратное 9 , при делении на 27, дает остатки  :  9,18,0

Число  18 слишком большое , а  9 мы тоже никак не можем получить , соответственно  остаток равен нулю

x - y = 0 ⇒ x = y

Если же вычесть  из третьего  уравнения системы первое , мы получим :

$\overline{cab}- \overline{abc} \equiv z -x\mod 27 \\\\ 99c - 90 a - 9b \equiv z-x \mod 27 \\\\ 9 (11c - 10a - b)\equiv z- x \mod 27$

Аналогично ,  раз левая часть кратна 9 ,  то   z - x =  0  ⇒  z = x

Выходит, что остатки равны  x = y = z  

Рассмотрим уравнение в рамке

$9(10b + c - 11a)= y-x \mod 27$

Поскольку мы выяснили  что  x = y , то

$9(10b + c - 11a)= 0\mod 27 \Rightarrow 10 b + c -11 a ~\vdots ~3$

Множитель находящийся в скобках делится на 3 , т.к   данное выражение целиком делится на 27

Заметим важную деталь :

10b + c - 11a
9b + b +c + a - 12a  
a+ b + c + (9b - 12a)

Поскольку   9b - 12a = 3(3b-4a) делится на 3 , то и сумма  a + b + c  делится на 3 (т.к  10b + c - 11a  делится на 3)

А из этого мы уже  получим , что  $\overline{ abc }~ \vdots~ 3$ , а   при делении чисел на 27 которые кратны 3 ,  дают остатки  0,3,9, ... , 24

В  нашем случае  x,y,z ∈ {1,2,3,4,5} , таким образом ,  искомый остаток равен 3-м ! (x = y = z = 3)

Соответственно :

$\overline{ abc } \equiv 3 \mod 27 \\\\ \overline{ abc } = 27k + 3$

Главное условие заключается в том что  a < b < c  , должны быть расположены в порядке возрастания  

Переходим к поиску

при k = 4 ,    abc =  111  

при k = 5 ,  abc = 138

при  k = 6 ,  abc =  165

при  k = 7 ,  abc = 192

при  k = 8 ,  abc = 219

при  k = 9 ,  abc = 246

...

Можно продолжить , но я сразу запишу числа которые удовлетворяют условию

при  k = 18 ,  abc = 489

при  k = 25 ,  abc = 678

После  789 можно не продолжать , т.к   мы  уже не сможем записывать числа в порядке возрастания , потому после 8-ки  идет 9 -ка , а после 9-ки мы уже не сможем поставить никакую цифру

Находим сумму искомых чисел :

138 + 246 + 489 + 678 = 1551

#SPJ1