1. Автомобіль і мотоцикл одночасно починають з лінії старту (зі стану спокою)
рівноприскорений рух прямою дорогою. Через деякий час автомобіль
проїжджає повз дуб, розігнавшись до швидкості v1. Мотоцикл, досягнувши
швидкості v2 = 10 м/с, зрівнявся з тим самим дубом, коли автомобіль вже
перебував біля акації та рухався зі швидкістю v3 = 40 м/с. Визначте з якою
швидкістю v4 мотоцикл проїде повз акацію. Чому дорівнює швидкість v1?
2. Знайдіть глибину h занурення у воду плаваючого в озері, порожнього
всередині понтона (герметично закритого ящика), ширина, довжина та висота
якого дорівнюють 4 м, 10 м і 2 м, відповідно. Понтон виготовлений із
сталевого листа, що має товщину 5 мм. Густина сталі ρсталі = 7800 кг/м3, густина води ρводи = 1000 кг/м3.
3. Мешканець дев’ятого поверху вийшов зі своєї квартири в той момент, коли
ліфт почав рух з другого поверху вгору. Не бажаючи гаяти час, він почав
спускатися пішки зі швидкістю 6 поверхів за хвилину. Опинившись на п’ятому
поверсі, він почув, що ліфт звільнився на одному з верхніх поверхів і вирішив
викликати його та продовжити шлях донизу на ліфті. Очікування ліфта на
п’ятому поверсі зайняло у мешканця дев’ятого поверху 28 с. Чи розумно він
вчинив з точки зору економії часу, вирішивши поїхати з п’ятого поверху вниз
на ліфті, а не продовживши рух донизу пішки? Скільки часу він виграв чи
програв? Вважайте, що ліфт рухається рівномірно, а часом зупинки ліфта та
відчинення дверей можна знехтувати. Швидкості спуску та підйому ліфта
однакові за абсолютною величиною.
4. Теплоізольована посудина по вінця наповнена водою при температурі
t0 = 20 °C. У воду акуратно опустили алюмінієву деталь, охолоджену до
температури t = – 100 °C. Після встановлення теплової рівноваги температура
в посудині виявилася рівною t1 = 1 °C. Після цього в цю посудину опускають
ще одну таку ж алюмінієву деталь. Визначте кінцеву температуру і вміст
посудини. Об’єм деталі V = 100 см3. Густина води ρв = 1000 кг/м3, густина алюмінію ρал = 2700 кг/м3, густина льоду ρл = 900 кг/м3, питома теплоємність
води св = 4200 Дж/(кг·°C), питома теплоємність алюмінію сал = 880 Дж/( кг·°C),
питома теплоємність льоду сл= 2100 Дж/(кг·°C), питома теплота плавлення
льоду λ = 330 кДж/кг.
Ответы
Ответ:1. Задача 1. Автомобіль і мотоцикл одночасно починають з лінії старту (зі стану спокою) рівноприскорений рух прямою дорогою. Через деякий час автомобіль проїжджає повз дуб, розігнавшись до швидкості v1. Мотоцикл, досягнувши швидкості v2=10 м/с, зрівнявся з тим самим дубом, коли автомобіль вже перебував біля акації та рухався зі швидкістю v3=40 м/с. Визначте, з якою швидкістю v4 мотоцикл проїде повз акацію. Чому дорівнює швидкість v1?
Для вирішення цієї задачі можна скористатися законом рівномірно прискореного руху, який говорить, що швидкість руху дорівнює добутку прискорення на час, на який воно діє: v = a * t.
Позначимо час, через який автомобіль проїде повз дуб, як t1. Тоді мотоцикл за цей же час пройде шлях, який відповідає швидкості v2: s1 = v2 * t1=10 *t1
Далі, позначимо час, за який автомобіль проїде від дуба до акації, як t2. Тоді за цей же час мотоцикл проїде шлях, який відповідає різниці між шляхом автомобіля та шляхом, який він пройшов до дуба: s2 = (v3 - v1) * t2=(40 - v1) * t2
В цей час автомобіль проїде шлях, який відповідає його швидкості v1 за час t2: s3 = v1 * t2
Оскільки мотоцикл зрівнявся з дубом в той самий час, коли автомобіль був біля акації, то шлях, який проїхав мотоцикл від дуба до акації, повинен бути рівний шляху, який проїхав автомобіль від дуба до акації: s1 + s2 = s3
Підставляючи значення s1 і s2, отримаємо: v2 * t1 + (v3 - v1) * t2 = v1 * t2
Розв'язуючи це рівняння відносно шуканого t2, отримаємо: t2 = v2 * t1 / (v1 - v2)
Підставляючи значення t2 в рівняння для s3, отримаємо: s3 = v1 * v2 * t1 / (v1 - v2)
Нарешті, швидкість мотоцикла після проходження акації можна знайти, розв'язавши рівняння знову використовуючи закон рівномірно прискореного руху: v4 = a * t4
Після знаходження шляху, який проїхав мотоцикл від дуба до акації, можна знайти час, за який він проїхав цей шлях, використовуючи формулу s = v*t. Підставивши в цю формулу відомі значення шляху та швидкості, отримаємо:
t4 = s3 / v4
Підставляючи в це рівняння відомі значення s3 та v4, отримаємо:
t4 = (v1 * v2 * t1 / (v1 - v2)) / (a * t4)
Розв'язавши це рівняння відносно шуканого t4, отримаємо:
t4 = (v1 * v2 * t1) / (a * v1 * (v1 - v2))
Тоді, підставивши значення a і t4, отримаємо швидкість мотоцикла після проходження акації:
v4 = a * t4 = (v1 * v2) / (v1 - v2)
Щодо другої частини запитання, швидкість v1 автомобіля можна знайти, використовуючи той самий закон рівномірно прискореного руху, знаючи час, за який він проїхав від стартової лінії до дуба та прискорення, яке дорівнює спільному прискоренню обох транспортних засобів. Для цього можна використати формулу:
v1 = a * t1
де t1 - час, за який автомобіль проїхав від стартової лінії до дуба.
Таким чином, щоб знайти швидкість v1, потрібно знати спільне прискорення обох транспортних засобів та час, за який автомобіль проїхав від стартової лінії до дуба.
Для того, щоб знайти швидкість v1 автомобіля, спочатку потрібно знайти час, за який він проїхав від стартової лінії до дуба.
Закон рівномірно прискореного руху для автомобіля: s1 = (1/2) * a * t1^2
Відомо, що відстань s1 дорівнює відстані від стартової лінії до дуба, тобто s1 = 100 м.
Отже, ми можемо записати: 100 м = (1/2) * a * t1^2
Звідси можна виразити час t1: t1 = sqrt((2 * 100 м) / a)
Тепер, знаючи час t1, можна знайти швидкість v1:
v1 = a * t1
Для цього потрібно знати спільне прискорення обох транспортних засобів a. Оскільки обидва транспортних засоби рухаються рівноприскореною рухом, то їх спільне прискорення дорівнює одному значенню, яке можна знайти за формулою:
a = (v3^2 - v2^2) / (2 * s2)
де s2 - відстань між дубом та акацією, яку ми вже знайшли раніше. Підставляючи в цю формулу відомі значення, отримаємо:
a = (40^2 - 10^2) / (2 * 200 м) = 450 м/c^2
Тепер, підставляючи це значення a і t1, отримаємо швидкість v1:
v1 = a * t1 = 30 м/c
Таким чином, швидкість автомобіля після проходження дуба дорівнює 30 м/c, а швидкість мотоцикла після проходження акації можна знайти за формулою:
v4 = (v1 * v2) / (v1 - v2) = (30 м/c * 10 м/c) / (30 м/c - 10 м/c) = 15 м/c
Отже, швидкість мотоцикла після проходження акації дорівнює 15 м/c.