Question

4. Ha На стороне АС правильного треугольника ABC взята точка Р, точки D и E лежат на сторонах АВ и ВС. Найдите ZPDE, если AD=CE, 2.DE = AC = 4 - AP


пожалуйста помогите​

Answer 1

Позначимо сторону AB як x. Тоді AC = BC = x√3 (бо ABC - рівносторонній трикутник).

Оскільки AD = CE, то з точки P, яка лежить на медіані трикутника ABC, ми можемо провести пряму, яка ділить сторону BC навпіл, тобто BD = DC = x/2.

Оскільки 2.DE = AC, то DE = x√3/2.

З теореми Піфагора для прямокутного трикутника APD, ми маємо:

AD² + DP² = AP²,

Або ж, враховуючи, що AD = CE, ми можемо записати:

CE² + DP² = AP².

Також, за теоремою Піфагора для трикутника BDE, ми маємо:

BD² + DE² = BE²,

Або ж, враховуючи, що BD = DC = x/2, ми можемо записати:

(x/2)² + (x√3/2)² = BE².

Розв'язуємо останнє рівняння для BE:

(x/2)² + (x√3/2)² = BE²,
x²/4 + 3x²/4 = BE²,
x² = 4BE²/3,
BE = x√4/3 = x(2/√3).

Тепер ми можемо записати вираз для AP через x:

4 - AP = AC = x√3,
AP = 4 - x√3.

Повертаємося до рівняння CE² + DP² = AP² і підставляємо значення CE, AP і DE:

(x√3)²/4 + DP² = (4 - x√3)²,
3x²/4 + DP² = 16 - 8x√3 + 3x²,
DP² = 16 - 8x√3.

Таким чином, ZPDE = DP² + DE² = (16 - 8x√3) + (x√3/2)² = 16 - 8x√3 + 3x²/4 = (64 - 32x√3 + 12x²)/4 = 16 - 8x√3 + 3x².

Остаточно, ZPDE = 16 - 8x√3 + 3x².