Question

На олимпиаде по математике в 6 классе было предложено 6 задач. Оказалось, что для любых двух школьников можно указать задачу, которую кто-то из них решил, а кто-то - не решил. Известно, что каждый, кто решил шестую задачу, не решил ни пятую, ни четвертую. Какое наибольшее количество школьников могло участвовать в этой олимпиаде?

Answer 1

Відповідь:

Надіюсь допомогла !!!(Україна)

Покрокове пояснення:

Рассмотрим условие задачи: для любых двух школьников можно указать задачу, которую кто-то из них решил, а кто-то - не решил. Это означает, что у каждого школьника есть как минимум одна задача, которую он не решил. Если бы это была одна и та же задача для всех, то у нас было бы не больше 5 решенных задач. Таким образом, каждый школьник не решил как минимум одну из шести задач.

Теперь рассмотрим информацию о шестой задаче. Мы знаем, что каждый, кто решил шестую задачу, не решил ни пятую, ни четвертую. Это означает, что шестую задачу решили не более, чем 3 школьника. Действительно, если бы больше трех школьников решили шестую задачу, то как минимум один из них должен был бы решить и пятую задачу, и четвертую задачу, что противоречило бы условию.

Таким образом, мы имеем не более 3 решивших шестую задачу. Из оставшихся 5 задач каждый школьник решил не более 3 из них (иначе мы могли бы указать задачу, которую он не решил). Следовательно, максимальное количество школьников равно количеству способов выбрать не более чем 3 решенные задачи из 5:

C(5, 0) + C(5, 1) + C(5, 2) + C(5, 3) = 1 + 5 + 10 + 10 = 26

Таким образом, на олимпиаде могло участвовать не более 26 школьников.