Question

В2. Дан треугольник АВС, точка М- середина стороны АВ, точка N середина стороны BC, SAMNC = 60. Найдите SABC -​

Answer 1

Ответ:

Площадь треугольника АВС равна 80 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Дан треугольник АВС, точка М- середина стороны АВ, точка N середина стороны BC, S(AMNC) = 60. Найдите S(ABC).

Дано: ΔАВС;

М - середина АВ, N - середина ВС.

S(AMNC) = 60.

Найти: S(ABC).

Решение:

Рассмотрим ΔАВС.

АМ = МВ; BN = NC (условие)

⇒ MN - средняя линия.

• Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.

⇒ $\displaystyle MN=\frac{1}{2}AC$;   $\displaystyle MN || AC$

Рассмотрим ΔMBN и ΔАВС.

∠В - общий;

∠BMN = ∠BAC (соответственные при MN || AC и секущей АВ)

⇒ ΔMBN ~ ΔАВС

• Коэффициент подобия k - отношение соответственных сторон подобных треугольников.

$\displaystyle k=\frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}$

• Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

⇒   $\displaystyle \frac{S(MBN)}{S(ABC)}=k^2=\frac{1}{4}$

Пусть S(MBN) = x, тогда S(ABC) = 4x.

S(AMNC) = S(ABC) - S(MBN) = 4x - x = 3x = 60

⇒ x = 20

S(MBN) = 20 кв. ед.; S(ABC) = 80 кв. ед.

Площадь треугольника АВС равна 80 кв. ед.