Question

x,y,z - натуральные числа , такие что $3^x + 5^{y} + 7^{z}$ делится на 105. Найти наименьшее возможное значение x + y + z

Answer 1

Ответ:

7.

Объяснение:

Заметим, что 105=3·5·7.

Разберемся сначала с делимостью исследуемой суммы на 3. Поскольку $5^y+7^z$ должно делиться на 3, а 5 сравнимо с минус 1 по модулю 3, 7 сравнимо с 1 по модулю 3, делаем. вывод, что

                                    y - нечетное число.

Если, например, y=1, а x=2, $5^y=5^1=5$ сравнимо с минус 2 по модулю 7, а $3^x=3^2=9$  сравнимо с 2 по модулю 7, то есть кроме делимости левой части на 3 мы обеспечили делимость на 7. Перебрав маленькие значения z, находим, что z=4 обеспечивает делимость и на 5:   3²=9 сравнимо с минус 1 пор модулю 5, $7^4\equiv 2^4\equiv 1\ (\mod 5).$ Итак, набор x=2; y=1; z=4 нам подходит, x+y+z=7.

Докажем, что уменьшить эту сумму нельзя. Ясно, что достаточно ограничиться значениями неизвестных от 1 до 4, поэтому y=1 или y=3.

Пусть y=1. Перебрав все x от 1 до 4, видим, что на 7 сумма $3^x+5$ делится только при x=2, и мы возвращаемся к уже найденной тройке x=2; y=1; z=4.

Пусть y=3. Тогда для x остаются только значения 1 и 2 (иначе x+y+z будет не меньше 7). Но оба случая мы отвергаем, поскольку нарушается делимость на 7.

Итак, доказано, что уменьшить сумму нельзя.