x,y,z - натуральные числа , такие что
делится на 105. Найти наименьшее возможное значение x + y + z
Ответы
Ответ:
7.
Объяснение:
Заметим, что 105=3·5·7.
Разберемся сначала с делимостью исследуемой суммы на 3. Поскольку должно делиться на 3, а 5 сравнимо с минус 1 по модулю 3, 7 сравнимо с 1 по модулю 3, делаем. вывод, что
y - нечетное число.
Если, например, y=1, а x=2, сравнимо с минус 2 по модулю 7, а
сравнимо с 2 по модулю 7, то есть кроме делимости левой части на 3 мы обеспечили делимость на 7. Перебрав маленькие значения z, находим, что z=4 обеспечивает делимость и на 5: 3²=9 сравнимо с минус 1 пор модулю 5,
Итак, набор x=2; y=1; z=4 нам подходит, x+y+z=7.
Докажем, что уменьшить эту сумму нельзя. Ясно, что достаточно ограничиться значениями неизвестных от 1 до 4, поэтому y=1 или y=3.
Пусть y=1. Перебрав все x от 1 до 4, видим, что на 7 сумма делится только при x=2, и мы возвращаемся к уже найденной тройке x=2; y=1; z=4.
Пусть y=3. Тогда для x остаются только значения 1 и 2 (иначе x+y+z будет не меньше 7). Но оба случая мы отвергаем, поскольку нарушается делимость на 7.
Итак, доказано, что уменьшить сумму нельзя.