Question

Выразите ctg а/2, через: 1) sina и cosa; 2) tga; 3) ctga.​

Answer 1

Ответ:

$1) ~~\displaystyle \mathrm {ctg} \tfrac{a}{2} = \frac{1+\cos a}{\sin a}$

$2) ~~\displaystyle\mathrm {ctg } \tfrac{a}{2}= \frac{ \mathrm {tg}a}{1 - \sqrt{\dfrac{1}{\mathrm {tg}^2a +1} } } - \mathrm{tg} a$

$3) ~~\mathrm {ctg }\frac{a}{2} =\displaystyle \frac{\dfrac{1}{\mathrm { ctg }a} }{1 -\sqrt{\dfrac{\mathrm{ctg ^2}a}{1+ \mathrm{ctg^2}a} }} - \frac{1}{\mathrm {ctg} a}$

Объяснение:

Выразите ctg а/2, через:

1) sina и cosa;

$\displaystyle \mathrm {ctg} \frac{a}{2} = \frac{\cos \dfrac{a}{2} }{\sin \dfrac{a}{2} }$

Вспомним формулы половинного угла :

$\sin \dfrac{a}{2} = \sqrt{\dfrac{1-\cos a }{2} }$

$\cos \dfrac{a}{2} = \sqrt{\dfrac{1+\cos a }{2} }$

Таким образом :

$\displaystyle \mathrm {ctg} \frac{a}{2} = \frac{\cos \dfrac{a}{2} }{\sin \dfrac{a}{2} }= \frac{\sqrt{\dfrac{1+\cos a }{2} }}{\sqrt{\dfrac{1-\cos a } {2} }} = \sqrt{ \frac{1+ \cos a}{1-\cos a}\cdot \frac{1+\cos a }{1+\cos a} }= \sqrt{\frac{(1+\cos a)^2}{1-\cos ^2a} } = \\\\ =\sqrt{\frac{(1+\cos a)^2}{\sin ^2a} } = \frac{1+\cos a}{\sin a}$

2) tga

Воспользуемся формулой двойного угла

$\boldsymbol{\rm ctg2\alpha =\dfrac{ctg^2\alpha -1}{ 2ctg \alpha } }$

Соответственно , мы можем записать  ctg a  как :

$\displaystyle \mathrm {ctg }a=\frac{ \mathrm {ctg }^2\frac{a}{2} -1}{2 \mathrm {ctg } \frac{a}{2} }$

Запишем  ctga  как  $\dfrac{1}{ \mathrm {tg }a}$  

$\displaystyle\frac{1}{ \mathrm {tg }a}=\frac{ \mathrm {ctg }^2\frac{a}{2} -1}{2 \mathrm {ctg } \frac{a}{2} } \\\\ \mathrm {ctg } \tfrac{a}{2} =\frac{1}{2} ( \mathrm {ctg }^2\tfrac{a}{2} -1)\cdot \mathrm{tg} a$

Данную часть ,  мы преобразуем следующим образом :

$\mathrm {ctg }^2\frac{a}{2} - 1 = (\mathrm {ctg }^2\tfrac{a}{2} +1}) - 1 - 1= \dfrac{1}{\sin^2 \frac{a}{2} } - 2$

Используем формулу  половинного угла  для синуса

$\boldsymbol{\sin ^2 a=\dfrac{1- \cos 2a}{2} }$

И мы получим :

$\sin ^2 \frac{a}{2}=\dfrac{1-\cos a}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2 \frac{a}{2} } - 2 = \dfrac{2}{1-\cos a} - 2$

А косинус мы можем выразить через  tga , воспользовавшись тем что :

$1+ \mathrm {tg }^2a = \dfrac{1}{\cos ^2 a} \Rightarrow \cos a = \sqrt{\dfrac{1}{\mathrm {tg}^2a +1} }$

И мы получим :

$\mathrm {ctg}^2 \frac{a}{2} -1 = \dfrac{1}{\sin^2 \frac{a}{2} } - 2 = \dfrac{2}{1-\cos a} - 2= \dfrac{2 }{1 - \sqrt{\dfrac{1}{\mathrm {tg}^2a +1} } } -2$

Таким образом :

$\displaystyle\mathrm {ctg } \tfrac{a}{2} =\frac{1}{2} ( \mathrm {ctg }^2\tfrac{a}{2} -1)\cdot \mathrm{tg} a = \frac{1}{2 }\left (\dfrac{2 }{1 - \sqrt{\dfrac{1}{\mathrm {tg}^2a +1} } } -2 \right )\cdot \mathrm {tg }a = \\\\ =\boxed{\frac{ \mathrm {tg}a}{1 - \sqrt{\dfrac{1}{\mathrm {tg}^2a +1} } } - \mathrm{tg} a}$

3)  ctg a

В данном случае , воспользуемся тем что мы вывели во 2-м примере

$\boxed{\displaystyle\mathrm {ctg } \tfrac{a}{2}=\frac{ \mathrm {tg}a}{1 - \sqrt{\dfrac{1}{\mathrm {tg}^2a +1} } } - \mathrm{tg} a}$

Просто вместо   tga в правой части  напишем   $\dfrac{1}{ \mathrm {ctg }a}$

$\displaystyle \frac{ \mathrm {tg}a}{1 - \sqrt{\dfrac{1}{\mathrm {tg}^2a +1} } } - \mathrm{tg} a} = \frac{\dfrac{1}{\mathrm { ctg }a} }{1 - \sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{\mathrm {ctg}^2a} +1} }} - \frac{1}{\mathrm {ctg} a} =$

$=\displaystyle \boxed{ \frac{\dfrac{1}{\mathrm { ctg }a} }{1 -\sqrt{\dfrac{\mathrm{ctg ^2}a}{1+ \mathrm{ctg^2 }a} }} - \frac{1}{\mathrm {ctg} a} }$

#SPJ1