Ответы
Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0выполняется неравенство: f(x0)>f(x).Определение: Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0выполняется неравенство: f(x0)<f(x). Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции. Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x)обращается в нуль или терпит разрыв.Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производнойНайти производную функции f′(x).Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.Если в окрестности критической точки f′(x)меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.ПРИМЕР №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x3–3x2. Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x2–6x. Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x2–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.