Question

Який найбільший кут можуть утворити вектори a=(y,-x,2) і b =(x,y,-1)?
Знайти похідну 30-го порядку від функції y=x cos^2⁡x при x=π/3.

Answer 1

Для знаходження кута між векторами, можемо скористатися формулою скалярного добутку:

a · b = |a| · |b| · cos(θ),

де a · b є скалярним добутком векторів a та b, |a| та |b| є їх довжинами, а θ є кутом між ними. Таким чином, кут можна знайти за формулою:

cos(θ) = (a · b) / (|a| · |b|),

θ = arccos[(a · b) / (|a| · |b|)].

Знайдемо спочатку скалярний добуток векторів a та b:

a · b = xy + (-x)y + 2(-1) = xy - x y - 2.

Тепер знайдемо довжини векторів a та b:

|a| = √(y^2 + (-x)^2 + 2^2) = √(x^2 + y^2 + 4),

|b| = √(x^2 + y^2 + (-1)^2) = √(x^2 + y^2 + 1).

Замінимо отримані значення у формулі для кута:

θ = arccos[(xy - x y - 2) / (√(x^2 + y^2 + 4) · √(x^2 + y^2 + 1))].

Щоб знайти похідну 30-го порядку функції y = x cos^2(x) при x = π/3, можна скористатися формулою Лейбніца:

(fg)^n = ∑(k=0)^n C(n,k) f^(k) g^(n-k),

де f^(k) та g^(n-k) є k-тою та (n-k)-тою похідними від функцій f(x) та g(x) відповідно, а C(n,k) є коефіцієнтом біноміального розкладу.

Підставимо значення x = π/3 у функцію y = x cos^2(x):

y = (π/3) cos^2(π/3) = (π/3) · (1/4) = π/12.

Тепер знайдемо значення n-тої похідної функції y = cos^2(x) при x = π/3:

y^(n) = ((d/dx) cos^2(x))^n.

Оскільки (cos^2(x))' = 2 cos(x) (-sin(x)), то можемо записати:

y' = 2 cos(x) (-sin(x)),

y'' = 2 (-sin^2(x)) + 2 cos(x) (-cos(x)) = -2 sin^2(x) - 2