Найдите катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 24см, если проекция этого катета на гипотенузу равна 6см. Напишите решение
Ответы
Ответ:
решение смотри на фотографии
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AC - гипотенуза, а BD - проекция катета AB на гипотенузу.
Требуется найти длину катета AB.
Прямоугольный треугольник
По теореме Пифагора:
AC^2 = AB^2 + BC^2
Подставим известные значения:
24^2 = AB^2 + BC^2
Разрешим это уравнение относительно BC:
BC^2 = 24^2 - AB^2
BC = квадратный корень(24^2 - AB^2)
Также по подобным треугольникам имеем:
BD/BC = AB/AC
Подставим известные значения:
6/BC = AB/24
Разрешим это уравнение относительно AB:
AB = 24 * 6 / BC
AB = 144 / BC
Подставим это выражение для AB в уравнение для BC:
BC = квадратный корень(24^2 - (144/BC)^2)
Введем вспомогательную переменную x = BC^2:
x = 24^2 - (144/BC)^2
x = 576 - 144^2/BC^2
x = (576BC^2 - 144^2) / BC^2
Теперь можем выразить BC через x:
BC^2 = x
BC = квадратный корень(x)
Подставим это выражение для BC в уравнение для AB:
AB = 144 / BC
AB = 144 / квадратный корень(x)
Таким образом, мы получили выражение для катета AB через неизвестную переменную x. Нам нужно найти значение x, чтобы вычислить AB.
Для этого вернемся к уравнению:
x = 576 - 144^2/BC^2
Подставим BC^2 = x:
x = 576 - 144^2/x
Умножим обе части уравнения на x:
x^2 = 576x - 144^2
Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:
x^2 - 576x + 144^2 = 0
Теперь мы получили квадратное уравнение относительно x. Решим его с помощью формулы:
x1,2 = (576 ± квадратный корень(576^2 - 4*144^2)) / 2
x1,2 = (576 ± 480) / 2
x1 = 48^2 = 2304
x2 = 528^2 = 278784(неуд.)
Исходя из геометрического смысла, x2 является неверным решением, поскольку BC должен быть меньше гипотенузы AC. Следовательно, правильным ответом является x1.