Question

natalyabryukhova помогите пожалуйста исследовать функцию ​

Answer 1

Ответ:

Функция исследована, график построен.

Объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

$\displaystyle \bf y=(x-1)\;e^{2x+1}$

1. Область определения функции.

- все значения аргумента, при которых функция определена.

х ∈ R

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle \bf y(-x)=(-x-1)\;e^{-2x+1}$

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x) ⇒ функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями.

1) с осью Ох ⇒ у = 0

$\displaystyle \bf 0=(x-1) \;e^{2x+1}\\\\e^{2x+1}\neq 0;\;\;\;\;\;x=1$

⇒ ось Ох пересекает в точке (1; 0)

2) с осью Оу   ⇒   х = 0

$\displaystyle \bf y(0) = (0-1)\;e^1=-e$

⇒ ось Оу пересекает в точке (0; -е)

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Наклонные  у = kx + b

$\displaystyle \bf k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)\;e^{2x+1}}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x}\cdot e^{2x+1}=1\cdot e^{\infty}=\infty\\ \\ \bf k= \lim_{x \to- \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to -\infty} \frac{(x-1)\;e^{2x+1}}{x}= 1\cdot \frac{1}{e^{\infty}} =0$

⇒ справа горизонтальной асимптоты не существует, а слева

у = 0 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle \bf y'=1\cdot e^{2x+1}+(x-1) \;e^{2x+1}\cdot 2=\\\\=e^{2x+1}(1+2x-2)=e^{2x+1}(2x-1)$

$\displaystyle \bf y'=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x=\frac{1}{2}$

$---[\frac{1}{2} ]+++$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция убывает на промежутке (-∞; 1/2]

Функция возрастает на промежутке [1/2; +∞)

Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = 1/2

$\displaystyle \bf y(\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}e^2\approx -3,7$

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

$\displaystyle \bf y''=e^{2x+1}\cdot2\cdot(2x-1)+e^{2x+1}\cdot2=2e^{2x+1}(2x-1+1)=4x\;e^{2x+1}$

$\displaystyle \bf y''=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x=0$

$---[0]+++$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция выпукла на промежутке (-∞; 0]

Функция вогнута на промежутке [0; +∞)

х = 0 - точка перегиба.

у(0) = -е ≈ -2,7

Строим график.