Question

natalyabryukhova помогите пожалуйста исследовать функцию ​

Answer 1

Ответ:

Функция исследована, график построен.

Объяснение:

Исследовать функцию и построить график.

$\displaystyle \bf y=ln(x^2-4x+8)$

1. Область определения функции:

Число логарифма положительно.

⇒ х² - 4х + 8 > 0

x² - 4x + 4 + 4 = (x - 2)² + 4

(x - 2)² ≥ 0   ⇒   (x - 2)² + 4 > 0

х ∈ R

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle \bf y(-x)=ln((-x)^2-4(-x)+8)=ln(x^2+4x+8)$

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x)   ⇒   функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями.

1) с осью Ох  ⇒   у = 0

0 = ln(x² -4x + 8)

e⁰ = x² - 4x + 8

x² - 4x + 7 = 0

(x - 2)² + 3 > 0   ⇒ ось Ох не пересекает.

2) с осью Оу  ⇒   х = 0

у(0) = ln 8 ≈ 2,1

Пересекает ось Оу в точке (0; 2,1)

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Наклонные у = kx + b

$\displaystyle \bf k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x^2-4x+8)}{x} =\infty$

⇒ наклонных асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle \bf y'=\frac{2x-4}{x^2-4x+8} \\\\y'=0\;\;\;x=2$

$---[2]+++$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция убывает на промежутке (-∞; 2]

Функция возрастает на промежутке [2; +∞)

• Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

х min = 2

y(2) = ln4 ≈ 1,4

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

$\displaystyle \bf y''=\frac{2(x^2-4x+8)-(2x-4)(2x-4)}{(x^2-4x+8)^2} =\\\\=\frac{2x^2-8x+16-4x^2+16x-16}{(x^2-4x+8)^2} =\frac{8x-2x^2}{(x^2-4x+8)^2}=\\ \\=\frac{2x(4 - x)}{(x^2-4x+8)^2}$

$\displaystyle \bf y''=0\\\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=4$

$---[0]+++[4]---$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция выпукла на промежутках: (-∞; 0]; [4; +∞)

Функция вогнута на промежутке: [0; 4]

x перегиба = 0; x перегиба = 4

у(0) = 2,1;   у(4) = 2,1

Строим график.