Question

Для функції f(x) = - х^2 + 3х знайдіть первісну, графік якої проходить через точку (2; - 1)

Answer 1

Ответ:

Найдём первообразную для функции   $\bf f(x)=-x^2+3x$  .

$\displaystyle \bf F(x)=\int \Big(-x^2+3x\Big)\, dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+C$  .

Так как график первообразной проходит через точку М(2;-1) , то верно равенство

$\displaystyle \bf F(2)=-1\ \ ,\ \ F(2)=-\frac{2^3}{3}+\frac{3\cdot 2^2}{2}+C=-\dfrac{8}{3}+\frac{12}{2}+C=-\frac{8}{3}+6+C=\frac{10}{3}+C\\\\\\\frac{10}{3}+C=-1\ \ ,\ \ \ C=-1-\frac{10}{3}=-\frac{13}{3}$

Первообразной для заданной функции, график которой проходит через точку М(2;-1) является функция

$\displaystyle \bf F(x)\Big|_{M}=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-\frac{13}{3}$