Question

Знайдіть катет прямокутного трикутника якщо його проекція на гіпотенузу -2 см якщо гіпотенузу дорівнює 32 см.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:Позначимо катети прямокутного трикутника як a та b, а гіпотенузу як c. За теоремою Піфагора маємо:

c² = a² + b²

Також, за подібністю трикутників, відомо що:

a/c = a'/(c + 2),

де a' - проекція катета a на гіпотенузу.

Підставляємо вираз для c з першого рівняння у друге:

a/(sqrt(a² + b²)) = a'/(sqrt(a² + b²) + 2)

Отримуємо рівняння:

a' = a * (sqrt(a² + b²) + 2) / sqrt(a² + b²)

З іншого боку, за умовою задачі a' = -2 см, а c = 32 см. Підставляємо ці значення до рівняння та розв'язуємо його відносно a:

-2 = a * (sqrt(a² + b²) + 2) / sqrt(a² + b²)

-2 * sqrt(a² + b²) - 4 = a * (sqrt(a² + b²))

(a² + b²) * (4a² + 4b²) = a² * (4a² + 4b²) - 16a²

5a² * b² + 3a² * a² = 4b² * a²

a² * (4b² - 3a²) = 0

Таким чином, a може бути рівним 0 або sqrt(4/3) * b. Оскільки a не може дорівнювати 0 (бо тоді це не був би прямокутний трикутник), отримуємо:

a = sqrt(4/3) * b

Підставляємо це значення до першого рівняння та розв'язуємо відносно b:

c² = a² + b²

32² = (4/3) * b² + b²

b² = 1024 / (4/3 + 1)

b² = 256

b = 16

Отже, другий катет дорівнює 16 см.