Через основание ВС равнобедренного АВС проведена плоскость а . Расстояние от вершины А до этой плоскости равно 4 см. Найдите угол между плоскостью а и плоскостью треугольника, если ВС = 12 см, АВ - АС = 10 см.
Ответы
Ответ:
-11
Объяснение:
Позначимо середину відрізка BC через О. Оскільки трикутник АВС рівнобедрений, то О є серединною перпендикуляром до сторони АВ і АС. Оскільки АО перпендикулярна до площини треугольника АВС, то площина, яка проходить через АО і АВ, є площиною треугольника.
Розглянемо трикутник АОВ. Площина, яка проходить через АО і а, є перпендикулярною до площини треугольника АВС. Тому ми можемо знайти кут між цими площинами, знайшовши кут між АО і їх перетином.
Позначимо відрізок АМ - відрізок від вершини А до точки перетину площини а з стороною ВС. Оскільки треугольник АВС рівнобедрений, то АМ є серединним перпендикуляром до ВС. Отже, АМ = 6 см.
Також ми знаємо, що АО = 5 см, оскільки АО є половиною сторони АВ, а АВ - АС = 10 см.
Застосуємо теорему Піфагора в прямокутному трикутнику АМО:
OM^2 = AO^2 - AM^2 = 5^2 - 6^2 = -11
Оскільки OM є від'ємним, це означає, що точка М перебуває на відстані 11 см за межею площини АОВ. Тому пряма, яка проходить через А та перетинає а в точці М, є перетином площин треугольника та а. Оскільки пряма МВ є перпендикуляром до площини треугольника АВС, то вектор МВ перпендикулярний до площини треугольника та перетинає а.
Таким чином, кут між площинами а та треугольника АВС є кутом між векторами МВ та АО. Використовуючи скалярний добуток векторів, можемо знайти кут між цими векторами:
cos(α) = (АО, МВ) / (|АО|*|МВ|) = -11