Question

рассмотрим уравнение $\dfrac{x}{1-x} =\dfrac{px^3}{1-x^3}$ для некоторого натурального p. Пусть x = 1/q удовлетворяет этому уравнению , при некотором натуральном q ≥2. найти сумму всех возможных значений p≤100

Answer 1

Ответ:

336.

Объяснение:

   $\dfrac{x}{1-x}=\dfrac{px^3}{1-x^3}\Leftrightarrow\left \{ {{x(1-x^3)=px^3(1-x)} \atop {x\not=1}} \right. ;\ x(1-x)(1+x+x^2)=px^3(1-x);$

                 $1+x+x^2=px^2;\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+1=p;\ q^2+q+1=p.$

Подставляя q=2; 3; ...; 9 (при q≥10 значения p окажутся больше 100), получаем нужные значения p; суммируя их, получаем

              $\sum\limits_{q=2}^9(q^2+q+1)=\sum\limits_{q=1}^9(q^2+q+1)-(1^2+1+1)=$

  $=\sum\limits_{q=1}^9q^2+\sum\limits_{q=1}^9q+\sum\limits_{q=1}^9 1-3= \dfrac{9\cdot (9+1)\cdot (2\cdot 9+1)}{6}+\dfrac{9\cdot (9+1)}{2}+9-3=$

$=\dfrac{9\cdot 10\cdot 19}{6}+\dfrac{9\cdot 10}{2}+6=285+45+6=336.$

Замечание. Мы воспользовались известными формулами

        $1^2+2^2+\ldots + n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6};\ 1+2+\ldots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}.$