Question

Даю 100 баллов алгебра​

Answer 1

1. Вычислить

A)

$\bullet ~ \cos (\alpha -\beta )= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin\beta$
$\cos63^{\circ}\cos 18^{\circ} + \sin 63^\circ \sin 18^{\circ} = \cos (63^\circ-18^\circ) = \cos 45^{\circ }= \dfrac{\sqrt{2} }{2}$

Б)

$\bullet ~ \cos (\alpha +\beta )= \cos \alpha \cos \beta - \sin\alpha \sin \beta \\\\ \bullet ~ \cos (-\alpha ) = \cos \alpha$

$\displaystyle \cos \frac{5\pi }{9}\cos \frac{13\pi }{9}- \sin \frac{5\pi }{9 }\sin \frac{13\pi }{9}= \cos \bigg(\frac{5\pi + 13\pi }{9} \bigg) =\cos 2\pi = 1$

В)

$\bullet ~ \sin (\alpha -\beta )= \sin \alpha \cos \beta - \sin\beta \cos \alpha$

$\sin 80 ^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos80^ {\circ}\sin 20^{\circ} =\sin (80^{\circ}-20^{\circ})= \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3 }}{2}}$

Г)

$\bullet ~ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

$\displaystyle 2\sin \frac{\pi }{8} \cos \frac{\pi }{8} = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{\sqrt{2} }{2}$

Д)  

$\bullet ~ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

$\displaystyle \left( \cos \frac{\pi }{8}+ \sin \frac{\pi }{8} \right )^ 2 =\underbrace{ \sin ^2 \frac{\pi }{8} + \cos^2\frac{\pi }{8}}_{1} + 2\sin \frac{\pi }{8} \cos \frac{\pi }{8} = 1 + \sin \frac{\pi }{4}=\frac{2+ \sqrt{2} }{2}$

2. Найти

A)  $\displaystyle \cos \bigg(\frac{\pi }{4}+\alpha \bigg )$ ,  если   sin α = -0,8   и  3π/2 < α < 2π  ( IV четверть)

π/4 = 45°

Т.к   в  IV четверти косинус положителен , то

$\cos \alpha = \sqrt{1-\sin ^2\alpha } = \sqrt{1-0,64} = 0,6$

Теперь распишем  
$\displaystyle \cos(45^{\circ}+\alpha ) = \cos 45^{\circ}\cos \alpha - \sin 45^{\circ}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2} }{2} (\cos \alpha - \sin \alpha ) = \\\\ = \frac{\sqrt{2} }{2} (0,6 - (-0,8)) = 0,\!7 \sqrt{2}$

Б) sin2α , если  $\sin \alpha = \pmb +\dfrac{15}{17}$   и   π/2 < α < π  

Опечатка ! синус положителен во II четверти ! поэтому $\sin \alpha = \pmb +\dfrac{15}{17}$

А косинус отрицателен во II четверти

$\cos \alpha =- \sqrt{1-\sin ^2\alpha } = \sqrt{1-\dfrac{225}{289}} = - \dfrac{8}{17}$

И, наконец , находим  sin2α

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\cdot \dfrac{15}{17}\cdot \bigg(-\dfrac{8}{17}\bigg ) = -\dfrac{240}{289}$