ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!
Знайдіть усі натуральні значення я, при яких виконуються нерівність 3^n >= 12n-9
Ответы
Для розв'язання цієї нерівності, ми можемо скористатися методом математичної індукції:
Перевірка для n=1:
3^1 >= 12(1)-9
3 >= 3
Умова виконується.
Припустимо, що нерівність виконується для певного значення n = k, тобто:
3^k >= 12k-9
Доведемо, що це припущення також справедливе для n = k+1:
3^(k+1) >= 12(k+1)-9
3*3^k >= 12k+3
3^k >= 4k+1
Тепер ми можемо використати припущення з кроку 2 і отримати:
4k+1 <= 3^k, оскільки 3^k >= 12k-9
4(k+1)-3 <= 3^k
4(k+1) <= 3^k+3
Залишається показати, що ця нерівність виконується для всіх натуральних значень k. Ми можемо це зробити шляхом індукції, але можемо також просто порівняти значення 3^k+3 та 4(k+1) для кількох перших значень k:
k = 1: 3^1+3 = 6 < 8 = 4(1+1)
k = 2: 3^2+3 = 12 = 12
k = 3: 3^3+3 = 30 > 16 = 4(3+1)
Як ми бачимо, нерівність виконується для k = 2 та всіх більших значень k. Тому всі натуральні значення, для яких виконується нерівність, - це 1 та всі натуральні числа більше за 2.
Відповідь: {1} U {n ∈ N : n > 2}.